ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৪

২৪

• (ক) $\tan (90^\circ - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, ${\rm cosec}\; \beta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\left( \frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC} \right)^2 = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$
• (গ) $\frac{AB}{AC} + \frac{BC}{AC} = \sqrt{2}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan (90^\circ - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুসারে $\tan(90^\circ - \beta) = \cot \beta$

বা, $\cot \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আবার, আমরা জানি $\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\cot \beta = \cot 60^\circ$

$\therefore \beta = 60^\circ$

আমাদের ${\rm cosec}\; \beta$ এর মান নির্ণয় করতে হবে,

$\therefore {\rm cosec}\; \beta = {\rm cosec}\; 60^\circ$

$= \frac{2}{\sqrt{3}}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{2}{\sqrt{3}}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

চিত্র হতে, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$ এবং $\angle C = \theta$

এখানে,

$\frac{AB}{BC} =$^লম্ব⁄_ভূমি$= \tan \theta$

$\frac{AC}{BC} =$^{অতিভুজ}⁄_ভূমি$= \sec \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \left( \frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC} \right)^2$

$= (\tan \theta + \sec \theta)^2$

অনুপাতগুলোকে সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

$= \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} \right)^2$

$= \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right)^2$

$= \frac{(1 + \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$= \frac{(1 + \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta}$

হরের অংশে $a^2 - b^2$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}$

লব ও হর থেকে $(1 + \sin \theta)$ কাটা গেলে থাকে,

$= \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\left( \frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC} \right)^2 = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{AB}{AC} + \frac{BC}{AC} = \sqrt{2}$

চিত্র হতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বসিয়ে পাই,

$\frac{AB}{AC} =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \sin \theta$

$\frac{BC}{AC} =$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$= \cos \theta$

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2$

বা, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 2$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 2$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 2 - 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1$ ........ (i)

এখন, আমরা জানি,

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

বা, $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 1$    [যেহেতু $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ এবং সমীকরণ (i) হতে $2\sin \theta \cos \theta = 1$]

বা, $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 0$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

বা, $\sin \theta - \cos \theta = 0$

বা, $\sin \theta = \cos \theta$

উভয়পক্ষকে $\cos \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$

বা, $\tan \theta = 1$

আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

সুতরাং, $\theta$ এর নির্ণেয় মান $45^\circ$। Answer

Previous See All Next