ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২৩

২৩ (i) $\cos p + \cot p = x$ এবং $\cot p - \cos p = y$
(ii) $2\sin^2 \theta + 3\cos \theta - 3 = 0$

• (ক) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
• (খ) (i) নং তথ্যের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}} = 4$
• (গ) (ii) নং তথ্যের আলোকে $\theta$-এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $0^\circ < \theta < 90^\circ$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

মনে করি, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle B = 90^\circ$ এবং $\angle C = \theta$।

ধরি, লম্ব $AB = p$, ভূমি $BC = b$ এবং অতিভুজ $AC = h$।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুসারে আমরা পাই,

$\sec \theta =$^{অতিভুজ}⁄_ভূমি$= \frac{h}{b}$

$\tan \theta =$^লম্ব⁄_ভূমি$= \frac{p}{b}$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$

$= \left(\frac{h}{b}\right)^2 - \left(\frac{p}{b}\right)^2$

$= \frac{h^2}{b^2} - \frac{p^2}{b^2}$

$= \frac{h^2 - p^2}{b^2}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা জানি, $h^2 = p^2 + b^2$   বা, $h^2 - p^2 = b^2$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{b^2}{b^2}$

$= 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 1$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$x = \cos p + \cot p$

$y = \cot p - \cos p$

প্রথমে $x^2 - y^2$ এর মান বের করি:

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

এখানে, $x + y = (\cos p + \cot p) + (\cot p - \cos p) = 2\cot p$

এবং $x - y = (\cos p + \cot p) - (\cot p - \cos p) = 2\cos p$

$\therefore x^2 - y^2 = (2\cot p)(2\cos p) = 4\cot p \cos p$

এবার $xy$ এর মান বের করি:

$xy = (\cos p + \cot p)(\cot p - \cos p)$

$= (\cot p + \cos p)(\cot p - \cos p)$

$= \cot^2 p - \cos^2 p$

$= \frac{\cos^2 p}{\sin^2 p} - \cos^2 p$

$= \cos^2 p \left(\frac{1}{\sin^2 p} - 1\right)$

$= \cos^2 p \cdot \cot^2 p$    [যেহেতু $\frac{1}{\sin^2 p} - 1 = {\rm cosec}^2 p - 1 = \cot^2 p$]

তাহলে, $\sqrt{xy} = \sqrt{\cos^2 p \cdot \cot^2 p} = \cos p \cot p$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}}$

$= \frac{4\cot p \cos p}{\cos p \cot p}$

$= 4$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 4$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}} = 4$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$2\sin^2 \theta + 3\cos \theta - 3 = 0$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$। সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

বা, $2(1 - \cos^2 \theta) + 3\cos \theta - 3 = 0$

বা, $2 - 2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 3 = 0$

বা, $-2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 1 = 0$

উভয়পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $2\cos^2 \theta - 3\cos \theta + 1 = 0$

মিডল টার্ম ব্রেক করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি,

বা, $2\cos^2 \theta - 2\cos \theta - \cos \theta + 1 = 0$

বা, $2\cos \theta(\cos \theta - 1) - 1(\cos \theta - 1) = 0$

বা, $(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 1) = 0$

হয়,

$2\cos \theta - 1 = 0$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

অথবা,

$\cos \theta - 1 = 0$

বা, $\cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \cos 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$

যেহেতু শর্ত দেওয়া আছে $0^\circ < \theta < 90^\circ$, তাই $\theta = 0^\circ$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore \theta = 60^\circ$

সুতরাং, $\theta$-এর নির্ণেয় মান $60^\circ$। Answer

Previous See All Next