ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২২

২২ $p = {\rm cosec}\; \theta + \cot \theta$, $q = {\rm cosec}\; \theta - \cot \theta$, $c = \frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta -1}$

• (ক) $\theta = 30^\circ$ হলে, $pq$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $p^2=c$
• (গ) $\frac{q}{p} = \frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}$ এবং $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে $\sec \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = {\rm cosec}\; \theta + \cot \theta$

$q = {\rm cosec}\; \theta - \cot \theta$

এবং $\theta = 30^\circ$

প্রথমে $p$ এবং $q$ এর মান বের করি,

$p = {\rm cosec}\; 30^\circ + \cot 30^\circ$

বা, $p = 2 + \sqrt{3}$

$q = {\rm cosec}\; 30^\circ - \cot 30^\circ$

বা, $q = 2 - \sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশি:

$= pq$

$= (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$

বীজগণিতের $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= (2)^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 4 - 3$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = {\rm cosec}\; \theta + \cot \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= p^2$

$= ({\rm cosec}\; \theta + \cot \theta)^2$

অনুপাতগুলোকে সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

$= \left(\frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \left(\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\right)^2$

$= \frac{(1 + \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$= \frac{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}$

নিচের অংশে $a^2 - b^2$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}$

লব ও হর থেকে $(1 + \cos \theta)$ কাটা গেলে থাকে,

$= \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}$

এখন, ডানপক্ষ (R.H.S):

$= c$

$= \frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta - 1}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ বসিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{1}{\cos \theta} + 1}{\frac{1}{\cos \theta} - 1}$

লব ও হরে আলাদাভাবে ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{\frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে গুণ করলে $\cos \theta$ কাটা যায়,

$= \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $p^2 = c$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{q}{p} = \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

$p$ ও $q$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{{\rm cosec}\; \theta - \cot \theta}{{\rm cosec}\; \theta + \cot \theta} = \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{({\rm cosec}\; \theta - \cot \theta) + ({\rm cosec}\; \theta + \cot \theta)}{({\rm cosec}\; \theta - \cot \theta) - ({\rm cosec}\; \theta + \cot \theta)} = \frac{(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3})}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{2{\rm cosec}\; \theta}{-2\cot \theta} = \frac{4}{-2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{{\rm cosec}\; \theta}{\cot \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

অনুপাতগুলোকে সাইন ও কোসাইনে ভাঙলে পাই,

বা, $\frac{\frac{1}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে দিলে $\sin \theta$ কাটা যায়,

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\therefore \sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$

সুতরাং, $\sec \theta$ এর নির্ণেয় মান $\frac{2}{\sqrt{3}}$। Answer

Previous See All Next