ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ২১

২১ $\cos \theta = m - \cot \theta$, $\cot \theta = n + \cos \theta$ এবং $\cos (m+n) = \frac12 = \sin (m-n)$; $m$, $n$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\cot \left( 90^\circ - \theta \right) = \sqrt3$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\left( \frac{m^2-n^2}{4} \right)^2 =mn$
• (গ) দেখাও যে, $m = 45^\circ$ এবং $n=15^\circ$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cot \left( 90^\circ - \theta \right) = \sqrt{3}$

আমরা জানি, পূরক কোণের সূত্রানুযায়ী $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$

বা, $\tan \theta = \sqrt{3}$

আবার, আমরা জানি $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

বা, $\tan \theta = \tan 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

আমাদের $\sin \theta$ এর মান বের করতে হবে,

$\therefore \sin \theta = \sin 60^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{\sqrt{3}}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\cos \theta = m - \cot \theta$

বা, $m = \cot \theta + \cos \theta$ ........ (i)

এবং $\cot \theta = n + \cos \theta$

বা, $n = \cot \theta - \cos \theta$ ........ (ii)

প্রথমে আমরা $m^2 - n^2$ এর মান বের করি,

$m^2 - n^2 = (\cot \theta + \cos \theta)^2 - (\cot \theta - \cos \theta)^2$

বীজগণিতের সূত্র $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ প্রয়োগ করে পাই,

$m^2 - n^2 = 4 \cot \theta \cos \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \left( \frac{m^2-n^2}{4} \right)^2$

$= \left( \frac{4 \cot \theta \cos \theta}{4} \right)^2$

$= (\cot \theta \cos \theta)^2$

$= \cot^2 \theta \cos^2 \theta$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= mn$

$= (\cot \theta + \cos \theta)(\cot \theta - \cos \theta)$

সূত্র $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ প্রয়োগ করে পাই,

$= \cot^2 \theta - \cos^2 \theta$

$\cot \theta$ কে ভেঙে পাই,

$= \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} - \cos^2 \theta$

$\cos^2 \theta$ কমন নিয়ে পাই,

$= \cos^2 \theta \left( \frac{1}{\sin^2 \theta} - 1 \right)$

আমরা জানি, $\frac{1}{\sin^2 \theta} = {\rm cosec}^2 \theta$

$= \cos^2 \theta ({\rm cosec}^2 \theta - 1)$

আবার, ${\rm cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$

$= \cos^2 \theta \cdot \cot^2 \theta$

$= \cot^2 \theta \cos^2 \theta$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\left( \frac{m^2-n^2}{4} \right)^2 = mn$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\cos (m+n) = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

বা, $\cos (m+n) = \cos 60^\circ$

$\therefore m + n = 60^\circ$ ........ (i)

আবার,

$\sin (m-n) = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

বা, $\sin (m-n) = \sin 30^\circ$

$\therefore m - n = 30^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(m + n) + (m - n) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2m = 90^\circ$

বা, $m = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore m = 45^\circ$

এখন, সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(m + n) - (m - n) = 60^\circ - 30^\circ$

বা, $m + n - m + n = 30^\circ$

বা, $2n = 30^\circ$

বা, $n = \frac{30^\circ}{2}$

$\therefore n = 15^\circ$

অর্থাৎ, $m = 45^\circ$ এবং $n = 15^\circ$ Showed

Previous See All Next