ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩২

৩২ $p = \tan \beta$, $q = \cot \beta$ এবং $r = \sec \theta - \tan \theta$

• (ক) $A = 30^\circ$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos 2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{p}{1-q} + \frac{q}{1-p} = \sec \beta \cdot {\rm cosec}\ \beta +1$
• (গ) $r = \frac{1}{a}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cot \theta = \frac{2a}{a^2 - 1}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 30^\circ$

বামপক্ষ $= \cos 2A$

$= \cos (2 \times 30^\circ)$

$= \cos 60^\circ$

$= \frac{1}{2}$

ডানপক্ষ $= \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$

$= \frac{1 - \tan^2 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}$

$= \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{\frac{3 - 1}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$

$= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}$

$= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$

$= \frac{2}{4}$

$= \frac{1}{2}$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ।

$\therefore \cos 2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \tan \beta$

$q = \cot \beta$

বামপক্ষ $= \frac{p}{1-q} + \frac{q}{1-p}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\tan \beta}{1 - \cot \beta} + \frac{\cot \beta}{1 - \tan \beta}$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

$= \frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1 - \frac{\cos \beta}{\sin \beta}} + \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{1 - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \beta - \cos \beta}{\sin \beta}} + \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{\cos \beta - \sin \beta}{\cos \beta}}$

$= \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \times \frac{\sin \beta}{\sin \beta - \cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \times \frac{\cos \beta}{\cos \beta - \sin \beta}$

$= \frac{\sin^2 \beta}{\cos \beta (\sin \beta - \cos \beta)} + \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta (\cos \beta - \sin \beta)}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরে মাইনাস চিহ্ন কমন নিয়ে পাই,

$= \frac{\sin^2 \beta}{\cos \beta (\sin \beta - \cos \beta)} - \frac{\cos^2 \beta}{\sin \beta (\sin \beta - \cos \beta)}$

আবার লসাগু করে পাই,

$= \frac{\sin^3 \beta - \cos^3 \beta}{\sin \beta \cos \beta (\sin \beta - \cos \beta)}$

$a^3 - b^3$ এর উৎপাদকের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{(\sin \beta - \cos \beta)(\sin^2 \beta + \sin \beta \cos \beta + \cos^2 \beta)}{\sin \beta \cos \beta (\sin \beta - \cos \beta)}$

লব ও হরের $(\sin \beta - \cos \beta)$ বাদ দিলে থাকে,

$= \frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta + \sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta}$

আমরা জানি, $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$

$= \frac{1 + \sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta}$

পদগুলো আলাদা করে পাই,

$= \frac{1}{\sin \beta \cos \beta} + \frac{\sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta}$

$= \frac{1}{\cos \beta} \cdot \frac{1}{\sin \beta} + 1$

$= \sec \beta \cdot {\rm cosec}\ \beta + 1$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{p}{1-q} + \frac{q}{1-p} = \sec \beta \cdot {\rm cosec}\ \beta +1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$r = \sec \theta - \tan \theta$

প্রশ্নমতে, $r = \frac{1}{a}$

বা, $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{a}$ ........ (i)

আমরা জানি,

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

বা, $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$

(i) নং হতে মান বসিয়ে পাই,

বা, $(\sec \theta + \tan \theta) \cdot \frac{1}{a} = 1$

বা, $\sec \theta + \tan \theta = a$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (ii) হতে (i) বিয়োগ করে পাই,

$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = a - \frac{1}{a}$

বা, $\sec \theta + \tan \theta - \sec \theta + \tan \theta = \frac{a^2 - 1}{a}$

বা, $2 \tan \theta = \frac{a^2 - 1}{a}$

বা, $\tan \theta = \frac{a^2 - 1}{2a}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

বা, $\cot \theta = \frac{1}{\frac{a^2 - 1}{2a}}$

$\therefore \cot \theta = \frac{2a}{a^2 - 1}$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $\cot \theta = \frac{2a}{a^2 - 1}$। Proved

Previous See All Next