ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৩

৩৩ (i)

চিত্রে, $\angle EDF = 5x +2y$ এবং $\angle DFE = x + 4y$
(ii) $p = \cot \theta$ এবং $q = \cos \theta$

• (ক) $\cos (\alpha + 30^\circ) = 0$ হলে, $\sin \frac{\alpha}{2}$ এর মান কত?
• (খ) $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $p+q = a$, $p-q = b$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{16}\left( a^2 - b^2 \right)^2 = ab$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cos (\alpha + 30^\circ) = 0$

আমরা জানি, $\cos 90^\circ = 0$

বা, $\cos (\alpha + 30^\circ) = \cos 90^\circ$

বা, $\alpha + 30^\circ = 90^\circ$

বা, $\alpha = 90^\circ - 30^\circ$

$\therefore \alpha = 60^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= \sin \frac{\alpha}{2}$

$\alpha$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sin \frac{60^\circ}{2}$

$= \sin 30^\circ$

$= \frac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের চিত্র (i) হতে পাই,

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle DEF$ এ $\angle E = 90^\circ$

লম্ব, $DE = 2$

ভূমি, $EF = 2\sqrt{3}$

$\angle DFE$ কোণের সাপেক্ষে,

$\tan (\angle DFE) =$^লম্ব⁄_ভূমি

বা, $\tan (x + 4y) = \frac{DE}{EF}$

বা, $\tan (x + 4y) = \frac{2}{2\sqrt{3}}$

বা, $\tan (x + 4y) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan (x + 4y) = \tan 30^\circ$

$\therefore x + 4y = 30^\circ$ ........ (i)

আবার, $\angle EDF$ কোণের সাপেক্ষে (লম্ব $EF$ এবং ভূমি $DE$),

$\tan (\angle EDF) =$^লম্ব⁄_ভূমি

বা, $\tan (5x + 2y) = \frac{EF}{DE}$

বা, $\tan (5x + 2y) = \frac{2\sqrt{3}}{2}$

বা, $\tan (5x + 2y) = \sqrt{3}$

বা, $\tan (5x + 2y) = \tan 60^\circ$

$\therefore 5x + 2y = 60^\circ$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (ii) কে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$10x + 4y = 120^\circ$ ........ (iii)

সমীকরণ (iii) হতে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই,

$(10x + 4y) - (x + 4y) = 120^\circ - 30^\circ$

বা, $10x + 4y - x - 4y = 90^\circ$

বা, $9x = 90^\circ$

বা, $x = \frac{90^\circ}{9}$

$\therefore x = 10^\circ$

এখন $x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$10^\circ + 4y = 30^\circ$

বা, $4y = 30^\circ - 10^\circ$

বা, $4y = 20^\circ$

বা, $y = \frac{20^\circ}{4}$

$\therefore y = 5^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 10^\circ$ এবং $y = 5^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \cot \theta$

$q = \cos \theta$

এবং $a = p + q$, $b = p - q$

প্রমাণ করতে হবে যে, $\frac{1}{16}\left( a^2 - b^2 \right)^2 = ab$

প্রথমে $(a^2 - b^2)$ এর মান নির্ণয় করি:

$a^2 - b^2 = (p + q)^2 - (p - q)^2$

আমরা জানি, $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$

সুতরাং, $a^2 - b^2 = 4pq$

মান বসিয়ে পাই,

$a^2 - b^2 = 4 \cot \theta \cos \theta$

এখন, বামপক্ষ $= \frac{1}{16}\left( a^2 - b^2 \right)^2$

$= \frac{1}{16} (4 \cot \theta \cos \theta)^2$

$= \frac{1}{16} \cdot 16 \cot^2 \theta \cos^2 \theta$

$= \cot^2 \theta \cos^2 \theta$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$= \cot^2 \theta (1 - \sin^2 \theta)$

$= \cot^2 \theta - \cot^2 \theta \sin^2 \theta$

$= \cot^2 \theta - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \sin^2 \theta$

$= \cot^2 \theta - \cos^2 \theta$

$p$ ও $q$ এর মান পুনরায় বসিয়ে পাই,

$= p^2 - q^2$

$= (p+q)(p-q)$

$= a \cdot b$

$= ab$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{16}\left( a^2 - b^2 \right)^2 = ab$ Proved

Previous See All Next