ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৪

৩৪ $\frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1} = m$, $\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = n$ এবং $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = p$

• (ক) $\theta = 45^\circ$ (সংশোধিত) হলে, দেখাও যে, $m = \sqrt2 - 1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $m+n=2p$
• (গ) $m = \frac{1}{\sqrt3}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ বিবেচ্য)।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = \frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1}$

এখানে $\theta = 45^\circ$ বসালে পাই,

$m = \frac{\tan 45^\circ}{\sec 45^\circ + 1}$

মান বসিয়ে পাই,

$m = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$     [যেহেতু $\tan 45^\circ = 1$ এবং $\sec 45^\circ = \sqrt{2}$]

লব ও হরকে $(\sqrt{2} - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$m = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$

$m = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

$m = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}$

$m = \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

$\therefore m = \sqrt{2} - 1$ Showed

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = \frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1}$

$n = \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}$

$p = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$

প্রথমে $m$ কে সরলীকরণ করি,

$m = \frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1}$

লব ও হরকে $(\sec \theta - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$m = \frac{\tan \theta (\sec \theta - 1)}{(\sec \theta + 1)(\sec \theta - 1)}$

$m = \frac{\tan \theta (\sec \theta - 1)}{\sec^2 \theta - 1}$

আমরা জানি, $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$

$m = \frac{\tan \theta (\sec \theta - 1)}{\tan^2 \theta}$

$m = \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}$

$\therefore m = n$

আবার, $m$ কে সাইন ও কোসাইনে ভাঙলে পাই,

$m = \frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1}$

$m = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta} + 1}$

$m = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta}}$

উলটে গুণ করে পাই,

$m = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{1 + \cos \theta}$

$m = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$

$\therefore m = p$

যেহেতু $m = n$ এবং $m = p$, সেহেতু $n = p$

এখন, বামপক্ষ $= m + n$

$= p + p$     [$m$ এবং $n$ এর মান $p$ বসিয়ে]

$= 2p$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore m+n = 2p$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(খ) হতে প্রাপ্ত,

$m = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$

প্রশ্নমতে,

$\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{\sin^2 \theta}{(1 + \cos \theta)^2} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

বা, $\frac{1 - \cos^2 \theta}{(1 + \cos \theta)^2} = \frac{1}{3}$     [যেহেতু $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$]

বর্গের সূত্র ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

বা, $\frac{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = \frac{1}{3}$

লব ও হরের $(1 + \cos \theta)$ বাদ দিলে থাকে,

বা, $\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1}{3}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $3(1 - \cos \theta) = 1(1 + \cos \theta)$

বা, $3 - 3 \cos \theta = 1 + \cos \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $3 - 1 = 3 \cos \theta + \cos \theta$

বা, $2 = 4 \cos \theta$

বা, $\cos \theta = \frac{2}{4}$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 60^\circ$। Answer

Previous See All Next