ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১২

১২ দৃশ্যকল্প-১: $\triangle ABC$-এ $\angle B =90^\circ$ (চিত্রে $AC = 2$ এবং $AB = \sqrt{3}$)

দৃশ্যকল্প-২: $P=\frac{{\rm cosec}\; x + \cot x}{\sec x + \tan x}$

• (ক) দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে $\cos A + \sec A$ নির্ণয় কর।
• (খ) $\sin A + \sin^2 C + \cos C + \cos^2 A =$ কত?
• (গ) প্রমাণ কর যে, $P = \tan x \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্র হতে পাই,

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

অতিভুজ $AC = 2$ এবং লম্ব (বা একটি বাহু) $AB = \sqrt{3}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $2^2 = (\sqrt{3})^2 + BC^2$

বা, $4 = 3 + BC^2$

বা, $BC^2 = 4 - 3$

বা, $BC^2 = 1$

$\therefore BC = 1$

এখন, $\angle A$ এর সাপেক্ষে: ভূমি $= AB = \sqrt{3}$ এবং অতিভুজ $= AC = 2$

আমরা জানি,

$\cos A =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

প্রদত্ত রাশি $= \cos A + \sec A$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) + (2 \times 2)}{2\sqrt{3}}$

$= \frac{3 + 4}{2\sqrt{3}}$

$= \frac{7}{2\sqrt{3}}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{7}{2\sqrt{3}}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে পাই, $\triangle ABC$-এ $AB = \sqrt{3}$, $BC = 1$ এবং অতিভুজ $AC = 2$

$\angle A$ এর সাপেক্ষে (লম্ব $= BC$, ভূমি $= AB$):

$\sin A =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{1}{2}$

$\cos A =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle C$ এর সাপেক্ষে (লম্ব $= AB$, ভূমি $= BC$):

$\sin C =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos C =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{1}{2}$

প্রদত্ত রাশি $= \sin A + \sin^2 C + \cos C + \cos^2 A$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$

পদগুলোকে সাজিয়ে ও যোগ করে পাই,

$= \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{3}{4}\right)$

$= 1 + \frac{6}{4}$

$= 1 + \frac{3}{2}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{2 + 3}{2}$

$= \frac{5}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{5}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$P = \frac{{\rm cosec}\; x + \cot x}{\sec x + \tan x}$

অনুপাতগুলোকে $\sin$ ও $\cos$ এ পরিবর্তন করে পাই,

$P = \dfrac{\frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}$

লব ও হরের ভগ্নাংশগুলো যোগ করে পাই,

$P = \dfrac{\frac{1 + \cos x}{\sin x}}{\frac{1 + \sin x}{\cos x}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে গুণ করলে দাঁড়ায়,

$P = \frac{1 + \cos x}{\sin x} \times \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

এখন, লব ও হর উভয়কে $(1 - \cos x)(1 - \sin x)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$P = \frac{(1 + \cos x)(1 - \cos x) \cdot \cos x \cdot (1 - \sin x)}{\sin x \cdot (1 + \sin x)(1 - \sin x) \cdot (1 - \cos x)}$

$a^2 - b^2$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$P = \frac{(1 - \cos^2 x) \cdot \cos x \cdot (1 - \sin x)}{\sin x \cdot (1 - \sin^2 x) \cdot (1 - \cos x)}$

আমরা জানি, $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ এবং $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

$P = \frac{\sin^2 x \cdot \cos x \cdot (1 - \sin x)}{\sin x \cdot \cos^2 x \cdot (1 - \cos x)}$

লব ও হর থেকে $\sin x$ এবং $\cos x$ কাটাকাটি (ভাগ) করে পাই,

$P = \frac{\sin x \cdot (1 - \sin x)}{\cos x \cdot (1 - \cos x)}$

$P = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$

যেহেতু $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$,

$P = \tan x \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$

অর্থাৎ, $P = \tan x \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$ Proved

Previous See All Next