ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৭

৭ (i) $\cot^4 A - \cot^2 A=1$
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $12$ cm ও $5$ cm, অতিভুজ ও বৃহত্তর বাহুর অন্তর্গত কোণ $\theta$

• (ক) $\sec \theta = 4 \sqrt{2}$ এবং $\sin \theta = \frac{1}{2\sqrt2}$ হলে $\tan \theta$ এর মান কত?
• (খ) (i) হতে প্রমাণ কর যে, $\cos^2 A = \tan^2 A$
• (গ) (ii) হতে $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta + \tan^2 \theta - \sec^2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sec \theta = 4 \sqrt{2}$

এবং $\sin \theta = \frac{1}{2\sqrt2}$

আমরা জানি, $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$

$\therefore \cos \theta = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

আবার, $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

মান বসিয়ে পাই,

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{2\sqrt2}}{\frac{1}{4\sqrt{2}}}$

বা, $\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt2} \times \frac{4\sqrt{2}}{1}$

বা, $\tan \theta = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

$\therefore \tan \theta = 2$

সুতরাং, $\tan \theta$ এর মান $2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$\cot^4 A - \cot^2 A = 1$

বা, $\cot^4 A = 1 + \cot^2 A$ [পক্ষান্তর করে]

আমরা জানি,

$1 + \cot^2 A = {\rm cosec}^2 A$

বা, $\cot^4 A = {\rm cosec}^2 A$ [মান বসিয়ে]

বা, $\frac{\cos^4 A}{\sin^4 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$

বা, $\cos^4 A = \frac{\sin^4 A}{\sin^2 A}$

বা, $\cos^4 A = \sin^2 A$

বা, $\frac{\cos^4 A}{\cos^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}$ [উভয়পক্ষকে $\cos^2 A$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos^2 A = \left(\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2$

$\therefore \cos^2 A = \tan^2 A$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প (ii) হতে পাই,

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় (লম্ব ও ভূমি) $12$ cm ও $5$ cm।

এখানে বৃহত্তর বাহু $= 12$ cm।

দেওয়া আছে, অতিভুজ ও বৃহত্তর বাহুর অন্তর্গত কোণ $\theta$।

যেহেতু $\theta$ কোণটি বৃহত্তর বাহুর সাথে উৎপন্ন হয়েছে, তাই $\theta$ কোণের সাপেক্ষে:

ভূমি $= 12$ cm

লম্ব $= 5$ cm

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

অতিভুজ$^2 =$লম্ব$^2 + $ভূমি$^2$

বা, অতিভুজ$^2 = 5^2 + 12^2$

বা, অতিভুজ$= \sqrt{5^2 + 12^2}$

বা, অতিভুজ$= \sqrt{5^2 + 12^2}$

বা, অতিভুজ$= \sqrt{25 + 144}$

বা, অতিভুজ$= \sqrt{169}$

$\therefore$ অতিভুজ$= 13$ cm

এখন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করি:

$\sin \theta =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{5}{13}$

$\cos \theta =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{12}{13}$

$\tan \theta =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{5}{12}$

$\sec \theta =$ ^{অতিভূজ}⁄_ভূমি $= \frac{13}{12}$

প্রদত্ত রাশি $= \sin^2 \theta - \cos^2 \theta + \tan^2 \theta - \sec^2 \theta$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \left(\frac{5}{13}\right)^2 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 - \left(\frac{13}{12}\right)^2$

$= \frac{25}{169} - \frac{144}{169} + \frac{25}{144} - \frac{169}{144}$

প্রথম দুটি এবং শেষ দুটি পদ একসাথে ল.সা.গু. করি,

$= \frac{25 - 144}{169} + \frac{25 - 169}{144}$

$= \frac{-119}{169} + \frac{-144}{144}$

$= -\frac{119}{169} - 1$

পুনরায় ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{-119 - 169}{169}$

$= -\frac{288}{169}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $-\frac{288}{169}$। Answer

Previous See All Next