ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬

৬ দৃশ্যকল্প-১: $f(x)= \sin x$
দৃশ্যকল্প-২: $a-1={\rm cosec}\, \theta$ এবং $b+1={\rm cosec}\, \theta$

• (ক) $\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}-1$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) +f(\theta) = \sqrt{2}\;f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ হলে, দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে প্রমাণ কর যে, $f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - f(\theta) = \sqrt{2}\, f(\theta)$
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে দেখাও যে, $(a+b)\; {\rm cosec}\, \theta = 2ab\; \sec^2 \theta$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি, $\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} - 1$

আমরা জানি, $\frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi - \pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$

তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়,

$= \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) - 1$

আমরা জানি, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$

$= \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} - 1$

আবার, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$= 1 - 1$

$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, $f(x) = \sin x$

দেওয়া আছে,

$f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) + f(\theta) = \sqrt{2}\, f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$

বা, $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) + \sin \theta = \sqrt{2} \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$

আমরা জানি, $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

বা, $\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta$

বা, $\sin \theta = (\sqrt{2} - 1) \cos \theta$

উভয়পক্ষকে $(\sqrt{2} + 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $(\sqrt{2} + 1) \sin \theta = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) \cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \{(\sqrt{2})^2 - 1^2\} \cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = (2 - 1) \cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \cos \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

এখন, পুনরায় $\cos \theta$ এর পরিবর্তে $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ বসালে পাই,

বা, $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

যেহেতু $f(x) = \sin x$, তাই

$\therefore f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - f(\theta) = \sqrt{2}\, f(\theta)$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$a - 1 = {\rm cosec}\, \theta$

$\therefore a = {\rm cosec}\, \theta + 1$ ........ (i)

এবং $b + 1 = {\rm cosec}\, \theta$

$\therefore b = {\rm cosec}\, \theta - 1$ ........ (ii)

বামপক্ষ (L.H.S):

$= (a + b)\; {\rm cosec}\, \theta$

$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= ({\rm cosec}\, \theta + 1 + {\rm cosec}\, \theta - 1) \; {\rm cosec}\, \theta$

$= (2 {\rm cosec}\, \theta) \cdot {\rm cosec}\, \theta$

$= 2 {\rm cosec}^2 \theta$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 2ab\; \sec^2 \theta$

$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= 2 ({\rm cosec}\, \theta + 1)({\rm cosec}\, \theta - 1) \cdot \sec^2 \theta$

$= 2 ({\rm cosec}^2 \theta - 1) \cdot \sec^2 \theta$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$

$= 2 \cot^2 \theta \cdot \sec^2 \theta$

এখন $\cot \theta$ এবং $\sec \theta$ কে সাইন ও কোসাইন অনুপাতে ভাঙি,

$= 2 \left(\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right)$

$= 2 \times \frac{1}{\sin^2 \theta}$

যেহেতু $\frac{1}{\sin^2 \theta} = {\rm cosec}^2 \theta$,

$= 2 {\rm cosec}^2 \theta$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $(a+b)\; {\rm cosec}\, \theta = 2ab\; \sec^2 \theta$ Showed

Previous See All Next