ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৭

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle ABC$-এ $\angle C = 90^\circ$ (সমকোণ)

এবং $\tan B = \sqrt{3}$

আমরা জানি, $\tan B =$^লম্ব⁄_ভূমি$= \frac{AC}{BC}$

সুতরাং, $\frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{1}$

ধরি, লম্ব $AC = \sqrt{3}$ একক এবং ভূমি $BC = 1$ একক।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

বা, $AB^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2$

বা, $AB^2 = 3 + 1$

বা, $AB^2 = 4$

$\therefore AB = 2$

সুতরাং, $AB$ এর দৈর্ঘ্য $2$ একক। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

'ক' হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ $AC = \sqrt{3}$, $BC = 1$ এবং অতিভুজ $AB = 2$

এখানে, $\angle A$ এর সাপেক্ষে:

লম্ব $= BC = 1$

ভূমি $= AC = \sqrt{3}$

অতএব,

$\cot A =$^ভূমি⁄_লম্ব$= \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\tan A =$^লম্ব⁄_ভূমি$= \frac{1}{\sqrt{3}}$

আবার দেওয়া আছে,

$\tan B = \sqrt{3}$

$\therefore \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

এখন, বামপক্ষ,

$= \frac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{2\sqrt{3}}{\frac{1 + 1}{\sqrt{3}}}$

$= \dfrac{2\sqrt{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}$

$= 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= (\sqrt{3})^2$

$= 3$

ডানপক্ষ,

$= \cot A \tan B$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{3} \times \sqrt{3}$

$= (\sqrt{3})^2$

$= 3$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A} = \cot A \tan B$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan B = \sqrt{3}$

বা, $\tan B = \tan 60^\circ$

$\therefore B = 60^\circ$

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$

অর্থাৎ, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

যেহেতু $\angle C = 90^\circ$, তাই

$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$

বা, $\angle A + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

বা, $\angle A + 150^\circ = 180^\circ$

বা, $\angle A = 180^\circ - 150^\circ$

$\therefore A = 30^\circ$

প্রশ্নমতে,

$m + n = B = 60^\circ$ ........ (i)

$m - n = A = 30^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(m + n) + (m - n) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2m = 90^\circ$

বা, $m = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore m = 45^\circ$

$m$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$45^\circ + n = 60^\circ$

বা, $n = 60^\circ - 45^\circ$

$\therefore n = 15^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $m = 45^\circ$ এবং $n = 15^\circ$। Answer