ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৮

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha) + (\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha) - (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1)}$

বা, $\frac{\cos \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1}$

বা, $\frac{2\cos \alpha}{-2\sin \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{-2}$

উভয়পক্ষ হতে $-2$ ভাগ করে পাই,

বা, $-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\sqrt{3}$

বা, $\cot \alpha = \sqrt{3}$

আমরা জানি, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$

বা, $\cot \alpha = \cot 30^\circ$

$\therefore \alpha = 30^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\alpha = 30^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

অতিভুজ $AC = \sqrt{x^2 + y^2}$

লম্ব $AB = x$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $BC^2 = AC^2 - AB^2$

বা, $BC^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 - x^2$

বা, $BC^2 = x^2 + y^2 - x^2$

বা, $BC^2 = y^2$

$\therefore BC = y$

চিত্র হতে, $\angle C = \theta$ এর সাপেক্ষে,

$\sin \theta =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \frac{AB}{AC} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

এখন, বামপক্ষ,

$= \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{\dfrac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}}$

$= \sqrt{\dfrac{\frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}}$

$= \sqrt{\frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}}$

লব ও হরকে $(\sqrt{x^2 + y^2} - x)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \sqrt{\frac{(\sqrt{x^2 + y^2} - x)(\sqrt{x^2 + y^2} - x)}{(\sqrt{x^2 + y^2} + x)(\sqrt{x^2 + y^2} - x)}}$

$= \sqrt{\frac{(\sqrt{x^2 + y^2} - x)^2}{(\sqrt{x^2 + y^2})^2 - x^2}}$

$= \sqrt{\frac{(\sqrt{x^2 + y^2} - x)^2}{x^2 + y^2 - x^2}}$

$= \sqrt{\frac{(\sqrt{x^2 + y^2} - x)^2}{y^2}}$

বর্গমূল করে পাই,

$= \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক ও 'খ' হতে পাই,

$\frac{BC}{AC} =$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$= \cos \theta$

এবং $\frac{AB}{AC} =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \sin \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\left( \frac{BC}{AC} \right)^2 - \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 = 2 - 5 \left( \frac{BC}{AC} \right)$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 - 5 \cos \theta$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $\cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) = 2 - 5 \cos \theta$

বা, $\cos^2 \theta - 1 + \cos^2 \theta - 2 + 5 \cos \theta = 0$

বা, $2\cos^2 \theta + 5 \cos \theta - 3 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2\cos^2 \theta + 6 \cos \theta - \cos \theta - 3 = 0$

বা, $2\cos \theta (\cos \theta + 3) - 1 (\cos \theta + 3) = 0$

বা, $(\cos \theta + 3)(2\cos \theta - 1) = 0$

হয়,

$\cos \theta + 3 = 0$

বা, $\cos \theta = -3$

কিন্তু $\cos \theta$ এর মান $-1$ অপেক্ষা ছোট হতে পারে না, তাই $\cos \theta = -3$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2\cos \theta - 1 = 0$

বা, $2\cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 60^\circ$। Answer