ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৯

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3 \pi}{8} - 1$

আমরা জানি, $\frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi - \pi}{8} = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) - 1$

আমরা জানি, $\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$

$= \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} - 1$

আবার আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$= 1 - 1$

$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$f(x) = \sin x$

অতএব,

$f(\theta) = \sin \theta$

$f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) = \cos \theta$

দেওয়া আছে,

$f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) + f(\theta) = \sqrt{2} f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

বা, $\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta$

বা, $\sin \theta = \cos \theta (\sqrt{2} - 1)$

উভয়পক্ষকে $(\sqrt{2} + 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\sin \theta (\sqrt{2} + 1) = \cos \theta (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \cos \theta ((\sqrt{2})^2 - 1^2)$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \cos \theta (2 - 1)$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \cos \theta (1)$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta = \cos \theta - \sin \theta$

বা, $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

এখন মানগুলো পুনরায় বসিয়ে পাই,

$\therefore f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) - f(\theta) = \sqrt{2} f(\theta)$

সুতরাং, $f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) - f(\theta) = \sqrt2 f(\theta)$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$a - 1 = {\rm cosec}\ \theta$

$\therefore a = {\rm cosec}\ \theta + 1$

এবং

$b + 1 = {\rm cosec}\ \theta$

$\therefore b = {\rm cosec}\ \theta - 1$

এখন, বামপক্ষ,

$= (a+b){\rm cosec}\ \theta$

$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= ({\rm cosec}\ \theta + 1 + {\rm cosec}\ \theta - 1) {\rm cosec}\ \theta$

$= (2 {\rm cosec}\ \theta) \cdot {\rm cosec}\ \theta$

$= 2 {\rm cosec}^2 \theta$ ........ (i)

আবার, ডানপক্ষ,

$= 2 ab \sec^2 \theta$

$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= 2 ({\rm cosec}\ \theta + 1)({\rm cosec}\ \theta - 1) \sec^2 \theta$

$= 2 ({\rm cosec}^2 \theta - 1) \sec^2 \theta$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$

$= 2 \cot^2 \theta \sec^2 \theta$

$\sin$ ও $\cos$-এ পরিবর্তন করে পাই,

$= 2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) \times \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$= 2 \times \frac{1}{\sin^2 \theta}$

$= 2 {\rm cosec}^2 \theta$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে দেখা যায় যে,

বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $(a+b){\rm cosec}\ \theta = 2 ab \sec^2 \theta$ Shown