ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫০

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle XYZ$-এ $\angle Y = 90^\circ$ (সমকোণ)

$XY = 1$ একক এবং $\tan X = 1$

আমরা জানি, $\tan X =$^লম্ব⁄_ভূমি$= \frac{YZ}{XY}$

বা, $\frac{YZ}{1} = 1$

$\therefore YZ = 1$ একক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$

বা, $XZ^2 = (1)^2 + (1)^2$

বা, $XZ^2 = 1 + 1$

বা, $XZ^2 = 2$

$\therefore XZ = \sqrt{2}$ একক

সুতরাং, $XZ$ এর মান $\sqrt{2}$ একক। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

'ক' হতে পাই,

$XY = 1$, $YZ = 1$ এবং অতিভুজ $XZ = \sqrt{2}$

এখানে,

$\sec X =$^{অতিভুজ}⁄_ভূমি$= \frac{XZ}{XY} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

$\cot Z =$^ভূমি⁄_লম্ব$= \frac{YZ}{XY} = \frac{1}{1} = 1$

$\sin Z =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \frac{XY}{XZ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

প্রদত্ত রাশি $= \sec^2 X + \cot^2 Z + \sin^2 Z$

মান বসিয়ে পাই,

$= (\sqrt{2})^2 + (1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

$= 2 + 1 + \frac{1}{2}$

$= 3 + \frac{1}{2}$

$= \frac{6 + 1}{2}$

$= \frac{7}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{7}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan X = 1$

বা, $\tan X = \tan 45^\circ$

$\therefore X = 45^\circ$

অতএব,

$\sin X = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan X = \tan 45^\circ = 1$

বামপক্ষ,

$= \frac{1 - \sin^2 X}{1 + \sin^2 X} + \frac{2 \tan^2 X}{3 \sin^2 X}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} + \frac{2 (1)^2}{3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}$

$= \dfrac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2 \times 1}{3 \times \frac{1}{2}}$

$= \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} + \frac{2}{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3}$

$= \frac{1 + 4}{3}$

$= \frac{5}{3}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{1 - \sin^2 X}{1 + \sin^2 X} + \frac{2 \tan^2 X}{3 \sin^2 X} = \frac{5}{3}$ Proved