ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৭

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$y = \sec \alpha$

প্রশ্নমতে,

$y = \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{-1}}$

$y$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sec \alpha = \sqrt{\frac{4}{3}}$     [যেহেতু $\left( \frac{a}{b} \right)^{-1} = \frac{b}{a}$]

বা, $\sec \alpha = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

বা, $\sec \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\sec \alpha = \sec 30^\circ$

$\therefore \alpha = 30^\circ$

যেহেতু $\alpha$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\alpha = 30^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = {\rm cosec}\ \theta$

$N = \cot \theta$

প্রশ্নমতে,

$M + N = a$

মান বসিয়ে পাই,

বা, ${\rm cosec}\ \theta + \cot \theta = a$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

বা, $\frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = a$

লসাগু করে পাই,

বা, $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = a$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta} = a^2$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta} = a^2$

হরের অংশকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = a^2$

লব ও হরের $(1 + \cos \theta)$ বাদ দিলে থাকে,

বা, $\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = a^2$

বা, $\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{a^2}{1}$

বিয়োজন-যোজন (Dividendo and Componendo) করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$

বা, $\frac{2 \cos \theta}{2} = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$

$\therefore \cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $\cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$3M^2 - 2\sqrt{3} N = 2$

$M$ ও $N$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $3 {\rm cosec}^2 \theta - 2\sqrt{3} \cot \theta = 2$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$

বা, $3(1 + \cot^2 \theta) - 2\sqrt{3} \cot \theta = 2$

বা, $3 + 3 \cot^2 \theta - 2\sqrt{3} \cot \theta - 2 = 0$

সাজিয়ে লিখে পাই,

বা, $3 \cot^2 \theta - 2\sqrt{3} \cot \theta + 1 = 0$

বর্গ নির্ণয়ের সূত্রে প্রয়োগ করে পাই,

বা, $(\sqrt{3} \cot \theta)^2 - 2 \cdot (\sqrt{3} \cot \theta) \cdot 1 + (1)^2 = 0$

বা, $(\sqrt{3} \cot \theta - 1)^2 = 0$

বর্গমূল করে পাই,

বা, $\sqrt{3} \cot \theta - 1 = 0$

বা, $\sqrt{3} \cot \theta = 1$

বা, $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\cot \theta = \cot 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= \sin^2 \theta + \frac{1}{4}$

$\theta$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sin^2 60^\circ + \frac{1}{4}$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$

$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{3 + 1}{4}$

$= \frac{4}{4}$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer