ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৬

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cos \left( 90^\circ - \theta \right) = \frac{3}{5}$

আমরা জানি, পূরক কোণের সূত্রানুসারে $\cos \left( 90^\circ - \theta \right) = \sin \theta$

সুতরাং, $\sin \theta = \frac{3}{5}$

আবার আমরা জানি,

${\rm cosec}\ \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

মান বসিয়ে পাই,

${\rm cosec}\ \theta = \frac{1}{\frac{3}{5}}$

$\therefore {\rm cosec}\ \theta = \frac{5}{3}$

সুতরাং, ${\rm cosec}\ \theta$ এর নির্ণেয় মান $\frac{5}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\tan (p+q) = \sqrt{3}$

বা, $\tan (p+q) = \tan 60^\circ$     [যেহেতু $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$]

$\therefore p + q = 60^\circ$ ........ (i)

আবার,

$\sin (p-q) = 0$

বা, $\sin (p-q) = \sin 0^\circ$     [যেহেতু $\sin 0^\circ = 0$]

$\therefore p - q = 0^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(p + q) + (p - q) = 60^\circ + 0^\circ$

বা, $2p = 60^\circ$

$\therefore p = 30^\circ$

সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(p + q) - (p - q) = 60^\circ - 0^\circ$

বা, $2q = 60^\circ$

$\therefore q = 30^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= \cot^2 p - \cos^2 q$

$p$ ও $q$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \cot^2 30^\circ - \cos^2 30^\circ$

$= (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= 3 - \frac{3}{4}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{12 - 3}{4}$

$= \frac{9}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{9}{4}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x = \cot \theta$

$y = \cos \theta$

প্রশ্নমতে,

$x^4 - x^2 = 1$

$x$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cot^4 \theta - \cot^2 \theta = 1$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\cot^4 \theta = 1 + \cot^2 \theta$

আমরা জানি, $1 + \cot^2 \theta = {\rm cosec}^2 \theta$

বা, $\cot^4 \theta = {\rm cosec}^2 \theta$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

বা, $\frac{\cos^4 \theta}{\sin^4 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$

উভয়পক্ষকে $\sin^2 \theta$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\frac{\cos^4 \theta}{\sin^2 \theta} = 1$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $\cos^4 \theta = \sin^2 \theta$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $\cos^4 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\cos^4 \theta + \cos^2 \theta = 1$

এখন $y = \cos \theta$ মানটি বসিয়ে পাই,

$\therefore y^4 + y^2 = 1$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $y^4 + y^2 = 1$। Proved