ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৮

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$V = \sin A - \cos A$

এখানে, $A = 60^\circ$ বসালে পাই,

$V = \sin 60^\circ - \cos 60^\circ$

মান বসিয়ে পাই,

$V = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

লসাগু করে পাই,

$V = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

সুতরাং, $V$ এর নির্ণেয় মান $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$U = \sin A + \cos A$

প্রশ্নমতে,

$U = \sqrt{2}$

বা, $\sin A + \cos A = \sqrt{2}$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $\sin A = \sqrt{2} - \cos A$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\sin^2 A = (\sqrt{2} - \cos A)^2$

বা, $1 - \cos^2 A = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos A + \cos^2 A$     [যেহেতু $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$]

বা, $1 - \cos^2 A = 2 - 2\sqrt{2} \cos A + \cos^2 A$

সবগুলো পদ ডানপাশে নিয়ে গেলে পাই,

বা, $\cos^2 A + \cos^2 A - 2\sqrt{2} \cos A + 2 - 1 = 0$

বা, $2 \cos^2 A - 2\sqrt{2} \cos A + 1 = 0$

বর্গ নির্ণয়ের সূত্রে সাজিয়ে পাই,

বা, $(\sqrt{2} \cos A)^2 - 2 \cdot (\sqrt{2} \cos A) \cdot 1 + (1)^2 = 0$

বা, $(\sqrt{2} \cos A - 1)^2 = 0$

বর্গমূল করে পাই,

বা, $\sqrt{2} \cos A - 1 = 0$

বা, $\sqrt{2} \cos A = 1$

বা, $\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

আমরা জানি, $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos A = \cos 45^\circ$

$\therefore A = 45^\circ$

যেহেতু $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $A = 45^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{U}{V} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

$U$ এবং $V$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\sin A + \cos A) + (\sin A - \cos A)}{(\sin A + \cos A) - (\sin A - \cos A)} = \frac{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{\sin A + \cos A + \sin A - \cos A}{\sin A + \cos A - \sin A + \cos A} = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}$

বা, $\frac{2 \sin A}{2 \cos A} = \frac{2\sqrt{3}}{2}$

$2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{\sin A}{\cos A} = \sqrt{3}$

বা, $\tan A = \sqrt{3}$

আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

বা, $\tan A = \tan 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

যেহেতু $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 60^\circ$। Answer