ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৩৯

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan x = \sqrt{3}$

বা, $\tan x = \tan 60^\circ$

$\therefore x = 60^\circ$

এবং $\cot y = \sqrt{3}$

বা, $\cot y = \cot 30^\circ$

$\therefore y = 30^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= \cos (x+y)$

মান বসিয়ে পাই,

$= \cos (60^\circ + 30^\circ)$

$= \cos 90^\circ$

$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \cos A$

$q = \sin A$

প্রশ্নমতে,

$p^2 + p^4 = 1$

বা, $\cos^2 A + \cos^4 A = 1$

বা, $\cos^4 A = 1 - \cos^2 A$

বা, $\cos^4 A = \sin^2 A$     [যেহেতু $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$]

উভয়পক্ষকে $\sin^4 A$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{\cos^4 A}{\sin^4 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^4 A}$

বা, $\cot^4 A = \frac{1}{\sin^2 A}$

বা, $\cot^4 A = {\rm cosec}^2 A$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$

বা, $\cot^4 A = 1 + \cot^2 A$

বা, $\cot^4 A - \cot^2 A = 1$

$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{p}{q}$ বসিয়ে পাই,

বা, $\left( \frac{p}{q} \right)^4 - \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 1$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $\left( \frac{p}{q} \right)^4 - \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 1$। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p - q = \sqrt{5} q$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $p = \sqrt{5} q + q$

বা, $p = q(\sqrt{5} + 1)$

অতএব,

$q = \frac{p}{\sqrt{5} + 1}$

লব ও হরকে $(\sqrt{5} - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $q = \frac{p(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}$

বা, $q = \frac{p(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$

বা, $q = \frac{p(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}$

বা, $q = \frac{p(\sqrt{5} - 1)}{4}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $4q = \sqrt{5} p - p$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $4q + p = \sqrt{5} p$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $4q + p = \sqrt{5} p$। Proved