ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪০

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cos A = \frac{1}{3}$

আমরা জানি,

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}$

বা, $\sin A = \sqrt{1 - \frac{1}{9}}$

বা, $\sin A = \sqrt{\frac{9 - 1}{9}}$

বা, $\sin A = \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\therefore \sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

এখন, $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$

$= \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

$= \frac{1}{3} \times \frac{3}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{1}{2\sqrt{2}}$

সুতরাং, $\cot A$ এর নির্ণেয় মান $\frac{1}{2\sqrt{2}}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$N = \cos \theta$

প্রশ্নমতে,

$4N^2 - \left( 2+2\sqrt3 \right)N + \sqrt3 = 0$

$N$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $4\cos^2 \theta - (2 + 2\sqrt{3})\cos \theta + \sqrt{3} = 0$

বা, $4\cos^2 \theta - 2\cos \theta - 2\sqrt{3}\cos \theta + \sqrt{3} = 0$

প্রথম দুটি পদ থেকে $2\cos \theta$ এবং শেষ দুটি পদ থেকে $\sqrt{3}$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $2\cos \theta (2\cos \theta - 1) - \sqrt{3}(2\cos \theta - 1) = 0$

বা, $(2\cos \theta - 1)(2\cos \theta - \sqrt{3}) = 0$

হয়,

$2\cos \theta - 1 = 0$

বা, $2\cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

অথবা,

$2\cos \theta - \sqrt{3} = 0$

বা, $2\cos \theta = \sqrt{3}$

বা, $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = 30^\circ$ অথবা $\theta = 60^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = \cot \theta$ এবং $N = \cos \theta$

প্রশ্নমতে,

$\left( M+N \right) \left( 2-\sqrt3 \right) = \left( M-N \right) \left( 2+\sqrt3 \right)$

পদগুলো একপাশে সাজিয়ে পাই,

বা, $\frac{M+N}{M-N} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(M+N) + (M-N)}{(M+N) - (M-N)} = \frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}$

লব ও হরের যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{M+N+M-N}{M+N-M+N} = \frac{2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}$

বা, $\frac{2M}{2N} = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{M}{N} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$M$ ও $N$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\cot \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cot \theta$ কে সাইন ও কোসাইনে ভেঙে পাই,

বা, $\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin \theta = \sin 60^\circ$     [যেহেতু $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$]

$\therefore \theta = 60^\circ$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= 2 \sin \frac{\theta}{2}$

$\theta$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= 2 \sin \left( \frac{60^\circ}{2} \right)$

$= 2 \sin 30^\circ$

$= 2 \times \frac{1}{2}$     [যেহেতু $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$]

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer