ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪১

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\beta = 30^\circ$

বামপক্ষ,

$= \cos 2 \beta$

$= \cos (2 \times 30^\circ)$

$= \cos 60^\circ$

$= \frac{1}{2}$

ডানপক্ষ,

$= 2 \cos^2 \beta - 1$

$= 2 (\cos 30^\circ)^2 - 1$

$= 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - 1$

$= 2 \times \frac{3}{4} - 1$

$= \frac{3}{2} - 1$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{3 - 2}{2}$

$= \frac{1}{2}$

সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ।

$\therefore \cos 2 \beta = 2 \cos^2 \beta - 1$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\sqrt{2} \cos (A-B) = 1$

বা, $\cos (A-B) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos (A-B) = \cos 45^\circ$

$\therefore A - B = 45^\circ$ ........ (i)

আবার,

$\sqrt{2} \sin (A+B) = 1$

বা, $\sin (A+B) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\sin (A+B) = \sin 45^\circ$

$\therefore A + B = 45^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(A - B) + (A + B) = 45^\circ + 45^\circ$

বা, $2A = 90^\circ$

বা, $A = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore A = 45^\circ$

$A$ এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

$45^\circ + B = 45^\circ$

বা, $B = 45^\circ - 45^\circ$

$\therefore B = 0^\circ$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= \sec A + \tan B$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sec 45^\circ + \tan 0^\circ$

$= \sqrt{2} + 0$

$= \sqrt{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\sqrt{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\sec \theta - \tan \theta = \frac{3}{4}$ ........ (i)

আমরা জানি,

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

বা, $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$

সমীকরণ (i) হতে মান বসিয়ে পাই,

বা, $(\sec \theta + \tan \theta) \times \frac{3}{4} = 1$

বা, $\sec \theta + \tan \theta = 1 \times \frac{4}{3}$

$\therefore \sec \theta + \tan \theta = \frac{4}{3}$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\sec \theta - \tan \theta + \sec \theta + \tan \theta = \frac{3}{4} + \frac{4}{3}$

বা, $2\sec \theta = \frac{9 + 16}{12}$

বা, $2\sec \theta = \frac{25}{12}$

বা, $\sec \theta = \frac{25}{24}$

অতএব, $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{24}{25}$

আবার আমরা জানি,

$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{576}{625}}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{625 - 576}{625}}$

বা, $\sin \theta = \sqrt{\frac{49}{625}}$

$\therefore \sin \theta = \frac{7}{25}$

প্রদত্ত রাশি $= (\cos \theta - \sin \theta)$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{24}{25} - \frac{7}{25}$

$= \frac{24 - 7}{25}$

$= \frac{17}{25}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{17}{25}$। Answer