ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১৪

১৪ $\tan A = \frac{a}{b}$

• (ক) দেখাও যে, $b \sin A - a \cos A = 0$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sin A = \frac{\pm a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
• (গ) উদ্দীপকের সাহায্যে $\frac{a \sin A - b \cos A}{a \sin A + b \cos A}$ এর মান নির্ণয় কর।

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A = \frac{a}{b}$

আমরা জানি, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

বা, $\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{b}$

বজ্রগুণন (আড়গুণন) করে পাই,

বা, $b \sin A = a \cos A$

পক্ষান্তর করে পাই,

$\therefore b \sin A - a \cos A = 0$ Showed

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A = \frac{a}{b}$

আমরা জানি, $\cot A = \frac{1}{\tan A}$

$\therefore \cot A = \frac{b}{a}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে আমরা জানি,

${\rm cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$

$\cot A$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, ${\rm cosec}^2 A = 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2$

বা, ${\rm cosec}^2 A = 1 + \frac{b^2}{a^2}$

ল.সা.গু. করে পাই,

বা, ${\rm cosec}^2 A = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$

আমরা জানি, $\sin^2 A = \frac{1}{{\rm cosec}^2 A}$

সুতরাং, ভগ্নাংশটি উল্টে দিলে পাই,

বা, $\sin^2 A = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল (Square root) করে পাই,

$\therefore \sin A = \frac{\pm a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A = \frac{a}{b}$

প্রদত্ত রাশি:

$= \frac{a \sin A - b \cos A}{a \sin A + b \cos A}$

লব ও হর উভয়কে $\cos A$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$= \frac{\frac{a \sin A}{\cos A} - \frac{b \cos A}{\cos A}}{\frac{a \sin A}{\cos A} + \frac{b \cos A}{\cos A}}$

যেহেতু $\frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$,

$= \frac{a \tan A - b}{a \tan A + b}$

এখন, $\tan A = \frac{a}{b}$ মানটি বসিয়ে পাই,

$= \frac{a\left(\frac{a}{b}\right) - b}{a\left(\frac{a}{b}\right) + b}$

$= \frac{\frac{a^2}{b} - b}{\frac{a^2}{b} + b}$

লব ও হরে ল.সা.গু. $b$ নিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{a^2 - b^2}{b}}{\frac{a^2 + b^2}{b}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে গুণ করলে $b$ কাটা যায়,

$= \frac{a^2 - b^2}{b} \times \frac{b}{a^2 + b^2}$

$= \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$। Answer

Previous See All Next