ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১৫

১৫ দেওয়া আছে, $\triangle PQR$-এ $\angle Q = 90^\circ$

• (ক) $\triangle PQR$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{\sin P + \cos Q + \cot R}{\sin Q + \tan P + \cos R}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\sin x + \cos 3y = \sqrt2$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই,

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PQR$-এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য:

লম্ব, $PQ = 1$ একক

ভূমি, $QR = \sqrt{3}$ একক

অতিভুজ, $PR = 2$ একক

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর যোগফল।

$\therefore \triangle PQR$ এর পরিসীমা $= PQ + QR + PR$

$= 1 + \sqrt{3} + 2$

$= 3 + \sqrt{3}$

সুতরাং, $\triangle PQR$ এর পরিসীমা $3 + \sqrt{3}$ একক। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই,

$\angle Q = 90^\circ$

এখন, $\angle P$ এর সাপেক্ষে (লম্ব $= QR = \sqrt{3}$, ভূমি $= PQ = 1$, অতিভুজ $= PR = 2$):

$\sin P =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan P =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

আবার, $\angle R$ এর সাপেক্ষে (লম্ব $= PQ = 1$, ভূমি $= QR = \sqrt{3}$, অতিভুজ $= PR = 2$):

$\cot R =$ ^ভূমি⁄_লম্ব $= \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$\cos R =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{\sqrt{3}}{2}$

এবং $\angle Q = 90^\circ$ হওয়ায়:

$\cos Q = \cos 90^\circ = 0$

$\sin Q = \sin 90^\circ = 1$

প্রদত্ত রাশি:

$= \frac{\sin P + \cos Q + \cot R}{\sin Q + \tan P + \cos R}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}$

লব ও হর আলাদাভাবে ল.সা.গু. করে পাই,

লবের অংশ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

হরের অংশ: $1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + 3\sqrt{3}}{2}$

সুতরাং, ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়,

$= \dfrac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + 3\sqrt{3}}{2}}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3\sqrt{3} + 2}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + 2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $= \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3} + 2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\angle P = x + y$ এবং $\angle R = x - y$

চিত্র হতে, $\angle P$ এর সাপেক্ষে:

$\tan P =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{QR}{PQ} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

বা, $\tan(x + y) = \tan 60^\circ$    [যেহেতু $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$]

$\therefore x + y = 60^\circ$ ........ (i)

আবার, $\angle R$ এর সাপেক্ষে:

$\tan R =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan(x - y) = \tan 30^\circ$    [যেহেতু $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$]

$\therefore x - y = 30^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(x + y) + (x - y) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2x = 90^\circ$

$\therefore x = 45^\circ$

সমীকরণ (i) এ $x$ এর মান বসিয়ে পাই,

$45^\circ + y = 60^\circ$

বা, $y = 60^\circ - 45^\circ$

$\therefore y = 15^\circ$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sin x + \cos 3y$

$x$ এবং $y$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sin 45^\circ + \cos(3 \times 15^\circ)$

$= \sin 45^\circ + \cos 45^\circ$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{1 + 1}{\sqrt{2}}$

$= \frac{2}{\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$= \sqrt{2}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \sqrt{2}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\sin x + \cos 3y = \sqrt{2}$ Proved

Previous See All Next