ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১৬

১৬ $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle A$ সমকোণ। $BC=25$ সে.মি., $AB=20$ সে.মি. এবং $\angle ABC = \theta$

• (ক) $\theta$ একটি সন্নিহিত বাহু চিহ্নিত কর এবং ${\rm cosec }\; \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{7}{25}$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\cot B + \tan C}{\cot C + \tan B} = \cot B \cdot \tan C$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^\circ$

অতিভুজ $BC = 25$ সে.মি., $AB = 20$ সে.মি. এবং $\angle ABC = \theta$

এখানে, $\theta$ কোণটি $B$ বিন্দুতে উৎপন্ন হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজে $\theta$ কোণের বিপরীত বাহু হলো লম্ব এবং সংলগ্ন বাহু হলো ভূমি (সন্নিহিত বাহু)।

$\therefore \theta$ কোণের সন্নিহিত বাহু (ভূমি) হলো $AB$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

বা, $25^2 = 20^2 + AC^2$

বা, $625 = 400 + AC^2$

বা, $AC^2 = 625 - 400$

বা, $AC^2 = 225$

$\therefore AC = \sqrt{225} = 15$ সে.মি. (লম্ব)

আমরা জানি, ${\rm cosec}\; \theta =$ ^{অতিভুজ}⁄_লম্ব

$= \frac{BC}{AC}$

$= \frac{25}{15}$

$= \frac{5}{3}$

সুতরাং, সন্নিহিত বাহু $AB$ এবং ${\rm cosec}\; \theta = \frac{5}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

(ক) হতে প্রাপ্ত মান অনুযায়ী,

লম্ব $AC = 15$ সে.মি., ভূমি $AB = 20$ সে.মি. এবং অতিভুজ $BC = 25$ সে.মি.

আমরা জানি,

$\cos \theta =$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$= \frac{AB}{BC} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

$\sin \theta =$^লম্ব⁄_{অতিভুজ}$= \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

বামপক্ষ (L.H.S):$^ভূমি⁄_{অতিভুজ}$

$= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$= \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2$

$= \frac{16}{25} - \frac{9}{25}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{16 - 9}{25}$

$= \frac{7}{25}$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \frac{7}{25}$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{7}{25}$ Showed

---

(গ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{\cot B + \tan C}{\cot C + \tan B}$

আমরা জানি, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ এবং $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$

হরের অংশটিতে এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$= \frac{\cot B + \tan C}{\frac{1}{\tan C} + \frac{1}{\cot B}}$

হরের অংশে ল.সা.গু. ($\tan C \cdot \cot B$) নিয়ে যোগ করে পাই,

$= \frac{\cot B + \tan C}{\frac{\cot B + \tan C}{\tan C \cdot \cot B}}$

ভগ্নাংশটি উল্টে গুণ করলে দাঁড়ায়,

$= (\cot B + \tan C) \times \frac{\tan C \cdot \cot B}{\cot B + \tan C}$

লব ও হর থেকে $(\cot B + \tan C)$ কাটা গেলে থাকে,

$= \tan C \cdot \cot B$

$= \cot B \cdot \tan C$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \cot B \cdot \tan C$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{\cot B + \tan C}{\cot C + \tan B} = \cot B \cdot \tan C$ Proved

Previous See All Next