ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৫

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sec \theta = 3$

আমরা জানি,

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

বা, $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$

$\sec \theta$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\tan^2 \theta = (3)^2 - 1$

বা, $\tan^2 \theta = 9 - 1$

বা, $\tan^2 \theta = 8$

বর্গমূল করে পাই,

$\tan \theta = \pm \sqrt{8}$

$\therefore \tan \theta = \pm 2\sqrt{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\pm 2\sqrt{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = \sec A + \tan A$

বামপক্ষ $= P^2$

$= (\sec A + \tan A)^2$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

$= \left( \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \right)^2$

লসাগু করে পাই,

$= \left( \frac{1 + \sin A}{\cos A} \right)^2$

$= \frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A}$

আমরা জানি, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$= \frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A}$

হরের অংশকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$= \frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}$

$= \frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}$

লব ও হরকে $\sin A$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$= \frac{\frac{1}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin A}}{\frac{1}{\sin A} - \frac{\sin A}{\sin A}}$

$= \frac{{\rm cosec}\ A + 1}{{\rm cosec}\ A - 1}$

$= C$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $P^2 = C$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\frac{P}{Q} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

$P$ এবং $Q$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\sec A + \tan A}{\sec A - \tan A} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(\sec A + \tan A) + (\sec A - \tan A)}{(\sec A + \tan A) - (\sec A - \tan A)} = \frac{(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}$

বা, $\frac{\sec A + \tan A + \sec A - \tan A}{\sec A + \tan A - \sec A + \tan A} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}}$

বা, $\frac{2 \sec A}{2 \tan A} = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\sec A}{\tan A} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

বা, $\frac{\frac{1}{\cos A}}{\frac{\sin A}{\cos A}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\cos A} \times \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin A = \sin 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

যেহেতু, $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 60^\circ$। Answer