ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১০

১০ $P=1+ \sin A$ এবং $Q=1- \sin A$

• (ক) ${\rm cosec}\, \theta = \sqrt2$ হলে, $\cos \theta =$ কত?
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{P}{Q}}= \sec A + \tan A$
• (গ) দেখাও যে, $\frac{1}{P} + \frac{1}{Q}=2 \left( 1 +\tan^2 A \right)$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

${\rm cosec}\, \theta = \sqrt{2}$

আমরা জানি, ${\rm cosec}\, 45^\circ = \sqrt{2}$

বা, ${\rm cosec}\, \theta = {\rm cosec}\, 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

আমাদের $\cos \theta$ এর মান বের করতে হবে,

$\therefore \cos \theta = \cos 45^\circ$

$= \frac{1}{\sqrt{2}}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{\sqrt{2}}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=1+ \sin A$ এবং $Q=1- \sin A$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sqrt{\frac{P}{Q}}$

$P$ এবং $Q$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}}$

লব ও হরকে রুটের ভেতরের হরের বিপরীত চিহ্নযুক্ত রাশি অর্থাৎ $(1 + \sin A)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}}$

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{1^2 - \sin^2 A}}$

আমরা জানি, $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A}}$

বর্গমূল (Square root) তুলে দিলে পাই,

$= \frac{1 + \sin A}{\cos A}$

ভগ্নাংশটিকে আলাদা করে লিখলে,

$= \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A}$

$= \sec A + \tan A$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \sec A + \tan A$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\sqrt{\frac{P}{Q}}= \sec A + \tan A$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P=1+ \sin A$ এবং $Q=1- \sin A$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \frac{1}{P} + \frac{1}{Q}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{1 + \sin A} + \frac{1}{1 - \sin A}$

ল.সা.গু. করে পাই,

$= \frac{(1 - \sin A) + (1 + \sin A)}{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}$

$= \frac{1 - \sin A + 1 + \sin A}{1^2 - \sin^2 A}$

$= \frac{2}{1 - \sin^2 A}$

আমরা জানি, $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$

$= \frac{2}{\cos^2 A}$

$= 2 \times \frac{1}{\cos^2 A}$

$= 2 \sec^2 A$

আবার, আমরা জানি $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$

$= 2(1 + \tan^2 A)$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 2 \left( 1 +\tan^2 A \right)$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\frac{1}{P} + \frac{1}{Q}=2 \left( 1 +\tan^2 A \right)$ Showed

Previous See All Next