ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৯

৯ $\tan A + \sec A = \frac{x}{y}$ এবং $A$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\tan A - \sec A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x=y \sqrt3$ হলে প্রমাণ কর যে, $\cot A = \sqrt3$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\cos A = \frac{2xy}{x^2+y^2}$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan A + \sec A = \frac{x}{y}$

বা, $\sec A + \tan A = \frac{x}{y}$ ........ (i)

আমরা জানি,

$\sec^2 A - \tan^2 A = 1$

$a^2 - b^2$ এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

বা, $(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$

সমীকরণ (i) হতে মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{x}{y} (\sec A - \tan A) = 1$

বা, $\sec A - \tan A = \frac{y}{x}$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে $\tan A - \sec A$ এর মান। তাই বামপক্ষ থেকে মাইনাস ($-$) কমন নিয়ে পাই,

বা, $- (\tan A - \sec A) = \frac{y}{x}$

$\therefore \tan A - \sec A = -\frac{y}{x}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $-\frac{y}{x}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sec A + \tan A = \frac{x}{y}$

এবং শর্তমতে, $x = y\sqrt{3}$ বা, $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$

তাহলে, $\sec A + \tan A = \sqrt{3}$ ........ (i)

আবার, (ক) হতে প্রাপ্ত মান থেকে পাই,

$\sec A - \tan A = \frac{y}{x}$

যেহেতু $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$, তাই ব্যস্তকরণ করলে হয় $\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\therefore \sec A - \tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(\sec A + \tan A) - (\sec A - \tan A) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\sec A + \tan A - \sec A + \tan A = \frac{(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) - 1}{\sqrt{3}}$

বা, $2 \tan A = \frac{3 - 1}{\sqrt{3}}$

বা, $2 \tan A = \frac{2}{\sqrt{3}}$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$

আমরা জানি, $\cot A = \frac{1}{\tan A}$

বা, $\cot A = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$\therefore \cot A = \sqrt{3}$

অর্থাৎ, $\cot A = \sqrt{3}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\sec A + \tan A = \frac{x}{y}$ ........ (i)

(ক) হতে প্রাপ্ত মান থেকে পাই,

$\sec A - \tan A = \frac{y}{x}$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও সমীকরণ (ii) যোগ করে পাই,

$(\sec A + \tan A) + (\sec A - \tan A) = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

বা, $2 \sec A = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\sec A = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$

আমরা জানি, $\cos A = \frac{1}{\sec A}$

বা, $\cos A = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{2xy}}$

$\therefore \cos A = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$

অর্থাৎ, $\cos A = \frac{2xy}{x^2+y^2}$ Proved

Previous See All Next