ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৪

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\alpha = 30^\circ$

প্রদত্ত রাশি $= 4 \cos^3 \alpha - 3 \sin 2 \alpha$

মান বসিয়ে পাই,

$= 4 \cos^3 (30^\circ) - 3 \sin (2 \times 30^\circ)$

$= 4 (\cos 30^\circ)^3 - 3 \sin 60^\circ$

আমরা জানি, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $0$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$\frac{a^2}{\cos^2 \theta} - \frac{b^2}{\cot^2 \theta} = c^2$

বা, $a^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} - b^2 \cdot \tan^2 \theta = c^2$     [যেহেতু $\frac{1}{\cot^2 \theta} = \tan^2 \theta$]

বা, $a^2 \sec^2 \theta - b^2 \tan^2 \theta = c^2$     [যেহেতু $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$]

আমরা জানি, $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$

বা, $a^2 (1 + \tan^2 \theta) - b^2 \tan^2 \theta = c^2$

বা, $a^2 + a^2 \tan^2 \theta - b^2 \tan^2 \theta = c^2$

বা, $\tan^2 \theta (a^2 - b^2) = c^2 - a^2$

বা, $\tan^2 \theta = \frac{c^2 - a^2}{a^2 - b^2}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\frac{1}{\tan^2 \theta} = \frac{a^2 - b^2}{c^2 - a^2}$

বা, $\cot^2 \theta = \frac{a^2 - b^2}{c^2 - a^2}$

উভয়পক্ষে ১ যোগ করে পাই,

বা, $1 + \cot^2 \theta = 1 + \frac{a^2 - b^2}{c^2 - a^2}$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$

বা, ${\rm cosec}^2 \theta = \frac{c^2 - a^2 + a^2 - b^2}{c^2 - a^2}$

বা, ${\rm cosec}^2 \theta = \frac{c^2 - b^2}{c^2 - a^2}$

বর্গমূল করে পাই,

বা, ${\rm cosec}\ \theta = \sqrt{\frac{c^2 - b^2}{c^2 - a^2}}$

$\therefore \frac{1}{\sin \theta} = \sqrt{\frac{c^2 - b^2}{c^2 - a^2}}$

সুতরাং, প্রমাণ হলো যে, $\frac{1}{\sin \theta} = \sqrt{\frac{c^2-b^2}{c^2-a^2}}$। Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = 2+\sqrt{3}$

লসাগু করে পাই,

বা, $\frac{1 + \sin A}{\cos A} = 2 + \sqrt{3}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A} = (2 + \sqrt{3})^2$

আমরা জানি, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

বা, $\frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A} = (2)^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

বা, $\frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A} = 4 + 4\sqrt{3} + 3$

বা, $\frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A} = 7 + 4\sqrt{3}$

হরের অংশকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)} = 7 + 4\sqrt{3}$

বা, $\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A} = 7 + 4\sqrt{3}$

বা, $\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{1}$

যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \sin A) + (1 - \sin A)}{(1 + \sin A) - (1 - \sin A)} = \frac{7 + 4\sqrt{3} + 1}{7 + 4\sqrt{3} - 1}$

বা, $\frac{1 + \sin A + 1 - \sin A}{1 + \sin A - 1 + \sin A} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{6 + 4\sqrt{3}}$

বা, $\frac{2}{2\sin A} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{2(3 + 2\sqrt{3})}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{3 + 2\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$

লব ও হরকে $(3 - 2\sqrt{3})$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{(4 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{12 - 8\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4(3)}{3^2 - (2\sqrt{3})^2}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{12 - 2\sqrt{3} - 12}{9 - 12}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{-2\sqrt{3}}{-3}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sin A} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

বিপরীতকরণ করে পাই,

বা, $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin A = \sin 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

শর্তমতে, $0^\circ \lt A \lt 90^\circ$, তাই $A = 60^\circ$ গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 60^\circ$। Answer