ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan B = \frac{5}{12}$

আমরা জানি,

$\sec^2 B = 1 + \tan^2 B$

বা, $\sec^2 B = 1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2$

বা, $\sec^2 B = 1 + \frac{25}{144}$

বা, $\sec^2 B = \frac{144 + 25}{144}$

বা, $\sec^2 B = \frac{169}{144}$

বর্গমূল করে পাই,

$\sec B = \frac{13}{12}$ [যেহেতু $B$ সূক্ষ্মকোণ, তাই ধনাত্মক মান নেওয়া হলো]

অতএব, $\cos B = \frac{1}{\sec B} = \frac{12}{13}$

এখন,

$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}$

বা, $\sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2}$

বা, $\sin B = \sqrt{1 - \frac{144}{169}}$

বা, $\sin B = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}}$

বা, $\sin B = \sqrt{\frac{25}{169}}$

$\therefore \sin B = \frac{5}{13}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{5}{13}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x = \tan p + \sin p$

$y = \tan p - \sin p$

এখন,

$x^2 - y^2$

$= (\tan p + \sin p)^2 - (\tan p - \sin p)^2$

$= 4 \tan p \sin p$     [যেহেতু $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$]

আবার,

$xy$

$= (\tan p + \sin p)(\tan p - \sin p)$

$= \tan^2 p - \sin^2 p$

$= \frac{\sin^2 p}{\cos^2 p} - \sin^2 p$

$= \sin^2 p \left( \frac{1}{\cos^2 p} - 1 \right)$

$= \sin^2 p (\sec^2 p - 1)$

$= \sin^2 p \tan^2 p$

অতএব,

$\sqrt{xy} = \sqrt{\sin^2 p \tan^2 p} = \tan p \sin p$

বামপক্ষ,

$= \left( x^2-y^2 \right) \div \left( \sqrt{xy} \right)$

$= \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}}$

$= \frac{4 \tan p \sin p}{\tan p \sin p}$

$= 4$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\left( x^2-y^2 \right) \div \left( \sqrt{xy} \right) = 4$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$z = \cos^2 A - \sin^2 A$

প্রশ্নমতে,

$z = 4 - 9 \cos A$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cos^2 A - \sin^2 A = 4 - 9 \cos A$

বা, $\cos^2 A - (1 - \cos^2 A) = 4 - 9 \cos A$

বা, $\cos^2 A - 1 + \cos^2 A = 4 - 9 \cos A$

বা, $2\cos^2 A - 1 - 4 + 9 \cos A = 0$

বা, $2\cos^2 A + 9 \cos A - 5 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2\cos^2 A + 10 \cos A - \cos A - 5 = 0$

বা, $2\cos A(\cos A + 5) - 1(\cos A + 5) = 0$

বা, $(\cos A + 5)(2\cos A - 1) = 0$

হয়,

$\cos A + 5 = 0$

বা, $\cos A = -5$

কিন্তু $\cos A$ এর মান $-1$ অপেক্ষা ছোট হতে পারে না, তাই $\cos A = -5$ গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2\cos A - 1 = 0$

বা, $2\cos A = 1$

বা, $\cos A = \frac{1}{2}$

বা, $\cos A = \cos 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

যেহেতু $A$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 60^\circ$। Answer