ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫৬

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\cot C = \sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশি $= \sec^2 C - 1$

আমরা জানি, $\sec^2 C - 1 = \tan^2 C$

$= \frac{1}{\cot^2 C}$     [যেহেতু $\tan C = \frac{1}{\cot C}$]

$= \frac{1}{(\sqrt{3})^2}$

$= \frac{1}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{1}{3}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \frac{\cot \theta}{{\rm cosec}\ \theta + 1} + \frac{{\rm cosec}\ \theta - 1}{\cot \theta}$

$B = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$

বামপক্ষ $= A$

$= \frac{\cot \theta}{{\rm cosec}\ \theta + 1} + \frac{{\rm cosec}\ \theta - 1}{\cot \theta}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{\cot^2 \theta + ({\rm cosec}\ \theta - 1)({\rm cosec}\ \theta + 1)}{\cot \theta ({\rm cosec}\ \theta + 1)}$

$= \frac{\cot^2 \theta + {\rm cosec}^2 \theta - 1}{\cot \theta ({\rm cosec}\ \theta + 1)}$

আমরা জানি, ${\rm cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta$

$= \frac{\cot^2 \theta + \cot^2 \theta}{\cot \theta ({\rm cosec}\ \theta + 1)}$

$= \frac{2\cot^2 \theta}{\cot \theta ({\rm cosec}\ \theta + 1)}$

$= \frac{2\cot \theta}{{\rm cosec}\ \theta + 1}$

সাইন ও কোসাইনে রূপান্তর করে পাই,

$= \frac{2 \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1}{\sin \theta} + 1}$

$= \frac{2 \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta}}$

$= 2 \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta}$

$= \frac{2\cos \theta}{1 + \sin \theta}$

$= 2 \left( \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \right)$

যেহেতু, $B = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$

$= 2B$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $A = 2B$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$3B^2 = 1$

$B$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $3\left( \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \right)^2 = 1$

বা, $\frac{3\cos^2 \theta}{(1 + \sin \theta)^2} = 1$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

বা, $\frac{3(1 - \sin^2 \theta)}{(1 + \sin \theta)^2} = 1$

বা, $\frac{3(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta)} = 1$

লব ও হর থেকে $(1 + \sin \theta)$ বাদ দিয়ে পাই,

বা, $\frac{3(1 - \sin \theta)}{1 + \sin \theta} = 1$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $3 - 3\sin \theta = 1 + \sin \theta$

বা, $3 - 1 = \sin \theta + 3\sin \theta$

বা, $2 = 4\sin \theta$

বা, $4\sin \theta = 2$

বা, $\sin \theta = \frac{2}{4}$

বা, $\sin \theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

বা, $\sin \theta = \sin 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

শর্তমতে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 30^\circ$। Answer