ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$ এবং $\angle C = \theta$

চিত্র হতে, $\angle C = \theta$ এর সাপেক্ষে:

লম্ব $AB$ এবং অতিভুজ $AC = y$

ভূমি $BC = x$

এখানে,

$\frac{AB}{AC} =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \sin \theta$

$\frac{BC}{AC} =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \cos \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$2 \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 + 3 \frac{BC}{AC} = 3$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $2 \sin^2 \theta + 3 \cos \theta = 3$

বা, $2(1 - \cos^2 \theta) + 3 \cos \theta = 3$     [যেহেতু $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$]

বা, $2 - 2 \cos^2 \theta + 3 \cos \theta - 3 = 0$

বা, $-2 \cos^2 \theta + 3 \cos \theta - 1 = 0$

উভয়পক্ষকে $(-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $2 \cos^2 \theta - 3 \cos \theta + 1 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $2 \cos^2 \theta - 2 \cos \theta - \cos \theta + 1 = 0$

বা, $2 \cos \theta (\cos \theta - 1) - 1 (\cos \theta - 1) = 0$

বা, $(\cos \theta - 1)(2 \cos \theta - 1) = 0$

হয়,

$\cos \theta - 1 = 0$

বা, $\cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \cos 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$ (ত্রিভুজের ক্ষেত্রে গ্রহণযোগ্য নয়)

অথবা,

$2 \cos \theta - 1 = 0$

বা, $2 \cos \theta = 1$

বা, $\cos \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 60^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক হতে পাই,

$\angle B = 90^\circ$, ভূমি $BC = x$ এবং অতিভুজ $AC = y$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $AB^2 = AC^2 - BC^2$

বা, $AB^2 = y^2 - x^2$

$\therefore AB = \sqrt{y^2 - x^2}$

এখন, $\angle A$ এর সাপেক্ষে:

লম্ব $= BC = x$

ভূমি $= AB = \sqrt{y^2 - x^2}$

অতিভুজ $= AC = y$

অতএব,

$\tan A =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}}$

$\cot A =$ ^ভূমি⁄_লম্ব $= \frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{x}$

$\sec A =$ ^{অতিভুজ}⁄_ভূমি $= \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}}$

বামপক্ষ,

$= \sqrt{\frac{x \tan A + x \cot A}{y \sec A - x \cot A}}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{\dfrac{x \left(\frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2}}\right) + x \left(\frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{x}\right)}{y \left(\frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}}\right) - x \left(\frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{x}\right)}}$

$= \sqrt{\dfrac{\frac{x^2}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \sqrt{y^2 - x^2}}{\frac{y^2}{\sqrt{y^2 - x^2}} - \sqrt{y^2 - x^2}}}$

$= \sqrt{\dfrac{\frac{x^2 + (y^2 - x^2)}{\sqrt{y^2 - x^2}}}{\frac{y^2 - (y^2 - x^2)}{\sqrt{y^2 - x^2}}}}$

$= \sqrt{\dfrac{\frac{y^2}{\sqrt{y^2 - x^2}}}{\frac{x^2}{\sqrt{y^2 - x^2}}}}$

$= \sqrt{\frac{y^2}{x^2}}$

$= \frac{y}{x}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sqrt{\frac{x \tan A + x \cot A}{y \sec A - x \cot A}} = \frac{y}{x}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x = 3$ এবং $y = 5$

'খ' হতে পাই,

$AB = \sqrt{y^2 - x^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

এখন, $\angle A$ এর সাপেক্ষে:

$\sin A =$ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ} $= \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$

$\cos A =$ ^ভূমি⁄_{অতিভুজ} $= \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}$

$\tan A =$ ^লম্ব⁄_ভূমি $= \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}$

$\cot A =$ ^ভূমি⁄_লম্ব $= \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{3}{4}} + \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{3}}$

$= \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{4 - 3}{4}} + \frac{\frac{3}{5}}{\frac{3 - 4}{3}}$

$= \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{4}} + \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{1}{3}}$

$= \left(\frac{4}{5} \times 4\right) - \left(\frac{3}{5} \times 3\right)$

$= \frac{16}{5} - \frac{9}{5}$

$= \frac{16 - 9}{5}$

$= \frac{7}{5}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{7}{5}$। Answer