ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৫২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 20^\circ$

সুতরাং, $3A = 3 \times 20^\circ = 60^\circ$

বামপক্ষ $= \tan^2 3A$

$= (\tan 60^\circ)^2$

$= (\sqrt{3})^2$

$= 3$

ডানপক্ষ $= 4 \sin^2 3A$

$= 4 (\sin 60^\circ)^2$

$= 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$

$= 4 \times \frac{3}{4}$

$= 3$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $\tan^2 3A = 4 \sin^2 3A$ Shown

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$m = (\sec \theta - \tan \theta)^2$

সাইন ও কোসাইনে পরিবর্তন করে পাই,

$= \left( \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2$

লসাগু করে পাই,

$= \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right)^2$

$= \frac{(1 - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$= \frac{(1 - \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta}$

হরের অংশকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$= \frac{(1 - \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}$

$= \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ ........ (i)

আবার দেওয়া আছে,

$n = \frac{{\rm cosec}\ \theta - 1}{{\rm cosec}\ \theta + 1}$

$\sin$-এ পরিবর্তন করে পাই,

$= \dfrac{\frac{1}{\sin \theta} - 1}{\frac{1}{\sin \theta} + 1}$

লব ও হরে লসাগু করে পাই,

$= \dfrac{\frac{1 - \sin \theta}{\sin \theta}}{\frac{1 + \sin \theta}{\sin \theta}}$

$= \frac{1 - \sin \theta}{\sin \theta} \times \frac{\sin \theta}{1 + \sin \theta}$

$= \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে দেখা যায় যে,

$m = n$

সুতরাং, $m = n$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$n + \frac{1}{n} = \frac{10}{3}$

লসাগু করে পাই,

বা, $\frac{n^2 + 1}{n} = \frac{10}{3}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $3(n^2 + 1) = 10n$

বা, $3n^2 + 3 = 10n$

বা, $3n^2 - 10n + 3 = 0$

মিডল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই,

বা, $3n^2 - 9n - n + 3 = 0$

বা, $3n(n - 3) - 1(n - 3) = 0$

বা, $(n - 3)(3n - 1) = 0$

হয়,

$n - 3 = 0$

বা, $n = 3$

'খ' হতে প্রাপ্ত $n$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta} = 3$

বা, $1 - \sin \theta = 3(1 + \sin \theta)$

বা, $1 - \sin \theta = 3 + 3 \sin \theta$

বা, $-3 \sin \theta - \sin \theta = 3 - 1$

বা, $-4 \sin \theta = 2$

বা, $\sin \theta = -\frac{2}{4}$

বা, $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$), তাই $\sin \theta$ এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$3n - 1 = 0$

বা, $3n = 1$

বা, $n = \frac{1}{3}$

'খ' হতে প্রাপ্ত $n$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta} = \frac{1}{3}$

বা, $3(1 - \sin \theta) = 1(1 + \sin \theta)$

বা, $3 - 3 \sin \theta = 1 + \sin \theta$

বা, $3 - 1 = \sin \theta + 3 \sin \theta$

বা, $2 = 4 \sin \theta$

বা, $4 \sin \theta = 2$

বা, $\sin \theta = \frac{2}{4}$

বা, $\sin \theta = \frac{1}{2}$

বা, $\sin \theta = \sin 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

শর্তমতে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই মানটি গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 30^\circ$। Answer