ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৫

(ক) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই,

সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$

ভূমি $BC = 1$ এবং অতিভুজ $AC = \sqrt{2}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

বা, $AB^2 = AC^2 - BC^2$

বা, $AB^2 = (\sqrt{2})^2 - (1)^2$

বা, $AB^2 = 2 - 1$

বা, $AB^2 = 1$

$\therefore AB = 1$

যেহেতু ত্রিভুজটির লম্ব ($AB=1$) এবং ভূমি ($BC=1$) সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। ফলে এর সূক্ষ্মকোণদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, $\angle A = 45^\circ$ এবং $\angle C = 45^\circ$।

নিচে এই মানগুলো দিয়ে আপডেট করা চিত্রটি দেওয়া হলো:

সুতরাং, $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $1$ একক। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \cos \theta + \sin \theta$ এবং $B = \cos \theta - \sin \theta$

শর্তমতে,

$A = \sqrt{2} (A - \sin \theta)$

$A$ এর মান বসিয়ে পাই,

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} (\cos \theta + \sin \theta - \sin \theta)$

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$

বা, $\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta$

বা, $\sin \theta = (\sqrt{2} - 1) \cos \theta$

উভয়পক্ষকে $(\sqrt{2} + 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $(\sqrt{2} + 1)\sin \theta = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)\cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = (2 - 1)\cos \theta$

বা, $\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta = \cos \theta$

বা, $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

যেহেতু, $B = \cos \theta - \sin \theta$, তাই লিখতে পারি:

$B = \sqrt{2} \sin \theta$ ........ (i)

এখন, প্রমাণ করতে হবে যে, $B = \sqrt{2} (A - \cos \theta)$

ডানপক্ষ $= \sqrt{2} (A - \cos \theta)$

$A$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{2} (\cos \theta + \sin \theta - \cos \theta)$

$= \sqrt{2} \sin \theta$

$= B$     [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

$=$ বামপক্ষ

সুতরাং, $B = \sqrt{2} (A - \cos \theta)$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 1$

বা, $\cos \theta + \sin \theta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1^2$

বা, $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1 - 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 0$

বা, $\sin \theta \cos \theta = 0$

হয়,

$\sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = \sin 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$

অথবা,

$\cos \theta = 0$

বা, $\cos \theta = \cos 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

শর্ত দেওয়া আছে, $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$।

এখানে $\theta = 0^\circ$ এবং $\theta = 90^\circ$ উভয় মানই শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $\theta = 0^\circ, 90^\circ$। Answer