ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৬

(ক) নং এর সমাধান

মনে করি, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle B = 90^\circ$ এবং $\angle C = \theta$ (সূক্ষ্মকোণ)।

চিত্র হতে, $\angle C = \theta$ এর সাপেক্ষে,

লম্ব $= AB$, ভূমি $= BC$ এবং অতিভুজ $= AC$

সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি,

${\rm cosec}\ \theta =$ ^{অতিভুজ}⁄_লম্ব $= \frac{AC}{AB}$

$\cot \theta =$ ^ভূমি⁄_লম্ব $= \frac{BC}{AB}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

উভয়পক্ষকে $AB^2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $\frac{AC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2}$

বা, $\left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = 1 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান বসিয়ে পাই,

বা, $({\rm cosec}\ \theta)^2 = 1 + (\cot \theta)^2$

বা, ${\rm cosec}^2\ \theta = 1 + \cot^2 \theta$

বা, ${\rm cosec}^2\ \theta - \cot^2 \theta = 1$

সুতরাং, জ্যামিতিকভাবে প্রমাণিত হলো যে, ${\rm cosec}^2\ \theta - \cot^2 \theta = 1$ Proved

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের (i) নং হতে পাই,

$\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt5 \cos \alpha$

বা, $\sin \alpha = \sqrt5 \cos \alpha - \cos \alpha$

বা, $\sin \alpha = (\sqrt5 - 1) \cos \alpha$ ........ (১)

বামপক্ষ $= \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{4 \cos \alpha - \sin \alpha}$

উদ্দীপক হতে $\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt5 \cos \alpha$ এবং সমীকরণ (১) হতে $\sin \alpha$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\sqrt5 \cos \alpha}{4 \cos \alpha - (\sqrt5 - 1) \cos \alpha}$

$= \frac{\sqrt5 \cos \alpha}{(4 - \sqrt5 + 1) \cos \alpha}$

$= \frac{\sqrt5 \cos \alpha}{(5 - \sqrt5) \cos \alpha}$

লব ও হর থেকে $\cos \alpha$ বাদ দিয়ে পাই,

$= \frac{\sqrt5}{5 - \sqrt5}$

$= \frac{\sqrt5}{\sqrt5 \cdot \sqrt5 - \sqrt5}$

হর থেকে $\sqrt5$ কমন নিয়ে পাই,

$= \frac{\sqrt5}{\sqrt5(\sqrt5 - 1)}$

$= \frac{1}{\sqrt5 - 1}$

সমীকরণ (১) হতে আমরা জানি, $\sin \alpha = (\sqrt5 - 1) \cos \alpha$, সুতরাং $\frac{1}{\sqrt5 - 1} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$= \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$= \cot \alpha$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{4 \cos \alpha - \sin \alpha} = \cot \alpha$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপকের (ii) নং হতে পাই,

$2 \left(\sin \theta \cos \theta + \sqrt3 \right) = \sqrt3 \sin \theta + 4 \cos \theta$

বা, $2 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt3 = \sqrt3 \sin \theta + 4 \cos \theta$

সবগুলো পদ বামপাশে নিয়ে এসে পাই,

বা, $2 \sin \theta \cos \theta - 4 \cos \theta - \sqrt3 \sin \theta + 2\sqrt3 = 0$

প্রথম দুইটি পদ থেকে $2 \cos \theta$ এবং শেষের দুইটি পদ থেকে $-\sqrt3$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $2 \cos \theta (\sin \theta - 2) - \sqrt3 (\sin \theta - 2) = 0$

বা, $(\sin \theta - 2)(2 \cos \theta - \sqrt3) = 0$

হয়,

$\sin \theta - 2 = 0$

বা, $\sin \theta = 2$

কিন্তু আমরা জানি, $\sin \theta$ এর সর্বোচ্চ মান $1$ হতে পারে। তাই $\sin \theta = 2$ মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা,

$2 \cos \theta - \sqrt3 = 0$

বা, $2 \cos \theta = \sqrt3$

বা, $\cos \theta = \frac{\sqrt3}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

শর্ত দেওয়া আছে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$)। এখানে $\theta = 30^\circ$ শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 30^\circ$। Answer