ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৭

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 30^\circ$

বামপক্ষ,

$= \sin^2 2A$

মান বসিয়ে পাই,

$= \sin^2 (2 \times 30^\circ)$

$= \sin^2 60^\circ$

$= (\sin 60^\circ)^2$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \frac{3}{4}$

ডানপক্ষ,

$= \cos^2 A$

মান বসিয়ে পাই,

$= \cos^2 30^\circ$

$= (\cos 30^\circ)^2$

$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \frac{3}{4}$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sin^2 2A = \cos^2 A$ Shown

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \frac{\sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

প্রশ্নমতে,

$a = \frac{3}{5}$

মান বসিয়ে পাই,

বা, $\frac{\sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta} = \frac{3}{5}$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

বা, $\frac{1 - \cos^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta} = \frac{3}{5}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $5(1 - \cos^2 \theta) = 3(1 + \cos^2 \theta)$

বা, $5 - 5\cos^2 \theta = 3 + 3\cos^2 \theta$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $5 - 3 = 3\cos^2 \theta + 5\cos^2 \theta$

বা, $2 = 8\cos^2 \theta$

বা, $8\cos^2 \theta = 2$

বা, $\cos^2 \theta = \frac{2}{8}$

বা, $\cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে পাই,

বা, $\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$

যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, তাই $\cos \theta$ এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore \cos \theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 60^\circ$

$\therefore \theta = 60^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 60^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \frac{\sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

$b = 2 - \sin^2 \theta$

$c = 2 + \tan^2 \theta$

প্রথমে $b$ এবং $c$ রাশি দুটিকে সরল করি:

$b = 2 - \sin^2 \theta$

$= 1 + 1 - \sin^2 \theta$

$= 1 + (1 - \sin^2 \theta)$

$= 1 + \cos^2 \theta$     [যেহেতু $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$]

আবার,

$c = 2 + \tan^2 \theta$

$= 1 + 1 + \tan^2 \theta$

$= 1 + (1 + \tan^2 \theta)$

$= 1 + \sec^2 \theta$     [যেহেতু $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$]

$= 1 + \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{\cos^2 \theta + 1}{\cos^2 \theta}$

$= \frac{1 + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

বামপক্ষ,

$= \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$

সরলীকৃত মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \frac{1}{1 + \cos^2 \theta} - \frac{1}{\frac{1 + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}}$

$= \frac{1}{1 + \cos^2 \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

লসাগু করে পাই,

$= \frac{1 - \cos^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

$= \frac{\sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$     [যেহেতু $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$]

$= a$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\frac{1}{b}- \frac{1}{c} = a$ Shown