ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৮

(ক) নং এর সমাধান

$\theta = 90^\circ$ হলে $\sin \theta$ এর মান $1$ হয়। অর্থাৎ $\theta$ এর মান $90^\circ$ এর কাছাকাছি হলে $\sin \theta$ এর মান প্রায় $1$ হয়।

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, $\sin \theta = $ ^লম্ব⁄_{অতিভুজ}। একটি সমকোণী ত্রিভুজে সূক্ষ্মকোণ $\theta$ এর মান যত বৃদ্ধি পায়, এর বিপরীত বাহু বা লম্বের দৈর্ঘ্য তত বৃদ্ধি পেতে থাকে। যখন $\theta$ এর মান বৃদ্ধি পেয়ে $90^\circ$ এর খুব কাছাকাছি হয়, তখন লম্বের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেয়ে অতিভুজের দৈর্ঘ্যের প্রায় সমান হয়ে যায়। ফলে তাদের অনুপাত $1$ এর কাছাকাছি হয়।

আর ঠিক যখন $\theta = 90^\circ$ হয়, তখন লম্ব ও অতিভুজ সমাপতিত হয় এবং $\sin 90^\circ = 1$ হয়। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \cot \theta + {\rm cosec}\ \theta$

$B = \tan \theta + \sec \theta$

প্রশ্নমতে, $A = B$

বা, $\cot \theta + {\rm cosec}\ \theta = \tan \theta + \sec \theta$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো ভেঙে পাই,

বা, $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}$

বা, $\frac{\cos \theta + 1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + 1}{\cos \theta}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $\cos \theta (\cos \theta + 1) = \sin \theta (\sin \theta + 1)$

বা, $\cos^2 \theta + \cos \theta = \sin^2 \theta + \sin \theta$

বা, $\cos \theta - \sin \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 0$

বা, $(\cos \theta - \sin \theta) + (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) = 0$

$(\cos \theta - \sin \theta)$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $(\cos \theta - \sin \theta)(1 + \cos \theta + \sin \theta) = 0$

যেহেতু $\theta$ একটি সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$), তাই $\sin \theta$ এবং $\cos \theta$ উভয়ই ধনাত্মক।

সুতরাং, $1 + \cos \theta + \sin \theta \neq 0$

অতএব,

$\cos \theta - \sin \theta = 0$

বা, $\cos \theta = \sin \theta$

উভয়পক্ষকে $\cos \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বা, $1 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan 45^\circ$

$\therefore \theta = 45^\circ$

এখন, প্রমাণ করতে হবে যে, $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$

বামপক্ষ,

$= \sin 3 \theta$

$= \sin (3 \times 45^\circ)$

$= \sin 135^\circ$

$= \sin (180^\circ - 45^\circ)$

$= \sin 45^\circ$     [যেহেতু $\sin(180^\circ - x) = \sin x$]

$= \frac{1}{\sqrt{2}}$

ডানপক্ষ,

$= 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$

$= 3 \sin 45^\circ - 4 \sin^3 45^\circ$

$= 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$

$= \frac{3}{\sqrt{2}} - 4 \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$

$= \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}$

$= \frac{3 - 2}{\sqrt{2}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2}}$

যেহেতু, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

সুতরাং, $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 2 + \sqrt{3}$

বা, $\cot \theta + {\rm cosec}\ \theta = 2 + \sqrt{3}$

বা, $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = 2 + \sqrt{3}$

বা, $\frac{\cos \theta + 1}{\sin \theta} = 2 + \sqrt{3}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta} = (2 + \sqrt{3})^2$

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta} = (2)^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

বা, $\frac{(1 + \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = 4 + 4\sqrt{3} + 3$

বা, $\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = 7 + 4\sqrt{3}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই,

বা, $\frac{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)} = \frac{(7 + 4\sqrt{3}) + 1}{(7 + 4\sqrt{3}) - 1}$

বা, $\frac{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{6 + 4\sqrt{3}}$

বা, $\frac{2}{2\cos \theta} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{2(3 + 2\sqrt{3})}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি $(3 - 2\sqrt{3})$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{(4 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{12 - 8\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4(3)}{(3)^2 - (2\sqrt{3})^2}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{12 - 2\sqrt{3} - 12}{9 - 12}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta} = \frac{-2\sqrt{3}}{-3}$

বা, $\sec \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

বা, $\sec \theta = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$

বা, $\sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$

অতএব, $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos \theta = \cos 30^\circ$

$\therefore \theta = 30^\circ$

এখন, $B$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

$B = \tan \theta + \sec \theta$

মান বসিয়ে পাই,

$= \tan 30^\circ + \sec 30^\circ$

$= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}$

$= \frac{1 + 2}{\sqrt{3}}$

$= \frac{3}{\sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$= \sqrt{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $B = \sqrt{3}$। Answer