ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৬৯

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$r = \sin A = \frac{3}{4}$

আমরা জানি, $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

বা, $\cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2$

বা, $\cos^2 A = 1 - \frac{9}{16}$

বা, $\cos^2 A = \frac{16 - 9}{16}$

বা, $\cos^2 A = \frac{7}{16}$

$\therefore \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}$

এখন, $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$

$= \frac{3}{4} \times \frac{4}{\sqrt{7}}$

$= \frac{3}{\sqrt{7}}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$p = \cot (A+B) = 1$

$q = \cot (A-B) = \sqrt{3}$

আমরা জানি,

$\cot 45^\circ = 1$

$\cot 30^\circ = \sqrt{3}$

সুতরাং,

$A + B = 45^\circ$ ........ (i)

$A - B = 30^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(A + B) + (A - B) = 45^\circ + 30^\circ$

বা, $2A = 75^\circ$

$\therefore A = 37.5^\circ$

সমীকরণ (i) হতে $A$ এর মান বসিয়ে পাই,

$37.5^\circ + B = 45^\circ$

বা, $B = 45^\circ - 37.5^\circ$

$\therefore B = 7.5^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 37.5^\circ$ এবং $B = 7.5^\circ$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে, $A - B = \theta$ এবং $q = \cot \theta = \sqrt{5}$

আমরা জানি,

${\rm cosec}^2\ \theta = 1 + \cot^2 \theta = 1 + (\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6$

$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \frac{1}{\cot^2 \theta} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

প্রদত্ত রাশি $= \frac{{\rm cosec}^2\ \theta - \sec^2 \theta}{{\rm cosec}^2\ \theta + \sec^2 \theta}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \frac{6 - \frac{6}{5}}{6 + \frac{6}{5}}$

লব ও হরকে $5$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \frac{30 - 6}{30 + 6}$

$= \frac{24}{36}$

$= \frac{2}{3}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\frac{2}{3}$। Answer