সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ৮

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \sqrt{ \sqrt [3] { \sqrt{4096} } }$

$= \sqrt{ \sqrt [3] { \sqrt{64^2} } }$

$= \sqrt{ \sqrt [3] { 64 } }$

$= \sqrt{ \sqrt [3] { 4^3 } }$

$= \sqrt{ 4 }$

$= \sqrt{ 2^2 }$

$= 2$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$l = a^2 + ab + b^2$

$m = b^2 + bc + c^2$

$n = c^2 + ca + a^2$

বামপক্ষ,

$= \left( \dfrac{x^a}{x^b} \right)^l \times \left( \dfrac{x^b}{x^c} \right)^m \times \left( \dfrac{x^c}{x^a} \right)^n$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left( x^{a-b} \right)^{a^2+ab+b^2} \times \left( x^{b-c} \right)^{b^2+bc+c^2} \times \left( x^{c-a} \right)^{c^2+ca+a^2}$

$= x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \times x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)} \times x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}$

বীজগাণিতিক সূত্র $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ প্রয়োগ করে পাই,

$= x^{a^3 - b^3} \times x^{b^3 - c^3} \times x^{c^3 - a^3}$

$= x^{a^3 - b^3 + b^3 - c^3 + c^3 - a^3}$

$= x^0$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\left( \dfrac{x^a}{x^b} \right)^l \times \left( \dfrac{x^b}{x^c} \right)^m \times \left( \dfrac{x^c}{x^a} \right)^n = 1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$l = a^2 + ab + b^2$

$m = b^2 + bc + c^2$

$n = c^2 + ca + a^2$

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{\left( p^a \cdot p^b \right)^{l-2ab}}{p^{a^3} \cdot p^{b^3}} + \dfrac{\left( p^b \cdot p^c \right)^{m-2bc}}{p^{b^3} \cdot p^{c^3}} + \dfrac{\left( p^c \cdot p^a \right)^{n-2ca}}{p^{c^3} \cdot p^{a^3}}$

$= \dfrac{\left( p^{a+b} \right)^{a^2+ab+b^2-2ab}}{p^{a^3+b^3}} + \dfrac{\left( p^{b+c} \right)^{b^2+bc+c^2-2bc}}{p^{b^3+c^3}} + \dfrac{\left( p^{c+a} \right)^{c^2+ca+a^2-2ca}}{p^{c^3+a^3}}$

$= \dfrac{\left( p^{a+b} \right)^{a^2-ab+b^2}}{p^{a^3+b^3}} + \dfrac{\left( p^{b+c} \right)^{b^2-bc+c^2}}{p^{b^3+c^3}} + \dfrac{\left( p^{c+a} \right)^{c^2-ca+a^2}}{p^{c^3+a^3}}$

$= \dfrac{p^{(a+b)(a^2-ab+b^2)}}{p^{a^3+b^3}} + \dfrac{p^{(b+c)(b^2-bc+c^2)}}{p^{b^3+c^3}} + \dfrac{p^{(c+a)(c^2-ca+a^2)}}{p^{c^3+a^3}}$

বীজগাণিতিক সূত্র $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$ প্রয়োগ করে পাই,

$= \dfrac{p^{a^3+b^3}}{p^{a^3+b^3}} + \dfrac{p^{b^3+c^3}}{p^{b^3+c^3}} + \dfrac{p^{c^3+a^3}}{p^{c^3+a^3}}$

$= 1 + 1 + 1$

$= 3$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $3$। Answer