সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ৭

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \sqrt{x^{-1}y} \cdot \sqrt{y^{-1}z} \cdot \sqrt{z^{-1}x}$

$= \sqrt{\dfrac{1}{x} \cdot y} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{y} \cdot z} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{z} \cdot x}$

$= \sqrt{\dfrac{y}{x}} \cdot \sqrt{\dfrac{z}{y}} \cdot \sqrt{\dfrac{x}{z}}$

$= \sqrt{\dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{z}{y} \cdot \dfrac{x}{z}}$

$= \sqrt{1}$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^z \cdot \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^x \cdot \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^y + \sqrt{x^{-1}y} \cdot \sqrt{y^{-1}z} \cdot \sqrt{z^{-1}x}$

(ক) হতে পাই, $\sqrt{x^{-1}y} \cdot \sqrt{y^{-1}z} \cdot \sqrt{z^{-1}x} = 1$

মান বসিয়ে পাই,

$= \left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^z \cdot \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^x \cdot \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^y + 1$

$= \left( a^{x-y} \right)^z \cdot \left( a^{y-z} \right)^x \cdot \left( a^{z-x} \right)^y + 1$

$= a^{z(x-y)} \cdot a^{x(y-z)} \cdot a^{y(z-x)} + 1$

$= a^{xz-yz} \cdot a^{xy-zx} \cdot a^{yz-xy} + 1$

$= a^{xz-yz+xy-zx+yz-xy} + 1$

$= a^0 + 1$

$= 1 + 1$ [যেহেতু $a^0 = 1$]

$= 2$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $2$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ,

$= \left( \dfrac{a^{p+q}}{a^{2r}} \right) \times \left( \dfrac{a^{q+r}}{a^{2p}} \right) \times \left( \dfrac{a^{r+p}}{a^{2q}} \right) + 1$

$= a^{p+q-2r} \times a^{q+r-2p} \times a^{r+p-2q} + 1$

$= a^{(p+q-2r) + (q+r-2p) + (r+p-2q)} + 1$

$= a^{p+q-2r+q+r-2p+r+p-2q} + 1$

$= a^{(p+p) + (q+q) + (r+r) - 2p - 2q - 2r} + 1$

$= a^{2p+2q+2r-2p-2q-2r} + 1$

$= a^0 + 1$

$= 1 + 1$

$= 2$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\left( \dfrac{a^{p+q}}{a^{2r}} \right) \times \left( \dfrac{a^{q+r}}{a^{2p}} \right) \times \left( \dfrac{a^{r+p}}{a^{2q}} \right) + 1 = 2$ Proved