সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$8^{x+1} = 64$

বা, $8^{x+1} = 8^2$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $8$ বাদ দিয়ে পাই,

$x + 1 = 2$

বা, $x = 2 - 1$

$\therefore x = 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$L = \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^{y^2 + yz + z^2}$, $M = \left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^{x^2 + xy + y^2}$ এবং $N = \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^{z^2 + zx + x^2}$

বামপক্ষ,

$= LMN$

$= \left( \dfrac{a^y}{a^z} \right)^{y^2 + yz + z^2} \times \left( \dfrac{a^x}{a^y} \right)^{x^2 + xy + y^2} \times \left( \dfrac{a^z}{a^x} \right)^{z^2 + zx + x^2}$

$= \left( a^{y-z} \right)^{y^2 + yz + z^2} \times \left( a^{x-y} \right)^{x^2 + xy + y^2} \times \left( a^{z-x} \right)^{z^2 + zx + x^2}$

$= a^{(y-z)(y^2 + yz + z^2)} \times a^{(x-y)(x^2 + xy + y^2)} \times a^{(z-x)(z^2 + zx + x^2)}$

বীজগাণিতিক সূত্র $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$ প্রয়োগ করে পাই,

$= a^{y^3 - z^3} \times a^{x^3 - y^3} \times a^{z^3 - x^3}$

$= a^{(y^3 - z^3) + (x^3 - y^3) + (z^3 - x^3)}$

$= a^{y^3 - z^3 + x^3 - y^3 + z^3 - x^3}$

$= a^0$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $LMN = 1$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Q = \dfrac{4^{x+3} - 8 \cdot 2^{2x+1}}{4^{x+2} \div 8}$

প্রথমে $Q$ এর মান নির্ণয় করি,

$Q = \dfrac{\left(2^2\right)^{x+3} - 2^3 \cdot 2^{2x+1}}{\left(2^2\right)^{x+2} \div 2^3}$

$= \dfrac{2^{2x+6} - 2^{2x+1+3}}{2^{2x+4} \div 2^3}$

$= \dfrac{2^{2x+6} - 2^{2x+4}}{2^{2x+4-3}}$

$= \dfrac{2^{2x+4} \cdot 2^2 - 2^{2x+4}}{2^{2x+1}}$

$= \dfrac{2^{2x+4} (2^2 - 1)}{2^{2x+1}}$

$= \dfrac{2^{2x+4} (4 - 1)}{2^{2x+1}}$

$= 2^{(2x+4) - (2x+1)} \cdot 3$

$= 2^{2x+4-2x-1} \cdot 3$

$= 2^3 \cdot 3$

$= 8 \cdot 3 = 24$

আবার দেওয়া আছে,

$R = \dfrac{5 \cdot 2^x - 8 \cdot 2^{x-1}}{2^x - 3 \cdot 2^{x-2}}$

$R$ এর মান নির্ণয় করি,

$R = \dfrac{5 \cdot 2^x - 2^3 \cdot 2^{x-1}}{2^x - 3 \cdot 2^{x-2}}$

$= \dfrac{5 \cdot 2^x - 2^{x-1+3}}{2^x - 3 \cdot \dfrac{2^x}{2^2}}$

$= \dfrac{5 \cdot 2^x - 2^{x+2}}{2^x - \dfrac{3 \cdot 2^x}{4}}$

$= \dfrac{5 \cdot 2^x - 2^x \cdot 2^2}{2^x \left( 1 - \dfrac{3}{4} \right)}$

$= \dfrac{2^x (5 - 4)}{2^x \left( \dfrac{4 - 3}{4} \right)}$

$= \dfrac{1}{\frac{1}{4}}$ [উভয়পক্ষ থেকে $2^x$ বাদ দিয়ে]

$= 1 \times\frac{4}{1}$

$= 4$

এখন,

বামপক্ষ,

$= Q \div R$

$= 24 \div 4$

$= 6$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $Q \div R = 6$ Proved