সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \left( 2a^{-1} + 3b^{-1} \right)^{-1}$

$= \left( 2 \cdot \dfrac{1}{a} + 3 \cdot \dfrac{1}{b} \right)^{-1}$

$= \left( \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b} \right)^{-1}$

$= \left( \dfrac{2b + 3a}{ab} \right)^{-1}$

$= \dfrac{ab}{2b + 3a}$

$= \dfrac{ab}{3a + 2b}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{ab}{3a + 2b}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \sqrt [pq] {\dfrac{x^p}{x^q}} \times \sqrt [qr] {\dfrac{x^q}{x^r}} \times \sqrt [rp] {\dfrac{x^r}{x^p}}$

প্রথমে $B$ এর মান নির্ণয় করি,

$B = \left( x^{p-q} \right)^{\frac{1}{pq}} \times \left( x^{q-r} \right)^{\frac{1}{qr}} \times \left( x^{r-p} \right)^{\frac{1}{rp}}$

$= x^{\frac{p-q}{pq}} \times x^{\frac{q-r}{qr}} \times x^{\frac{r-p}{rp}}$

$= x^{\left(\frac{p}{pq} - \frac{q}{pq}\right)} \times x^{\left(\frac{q}{qr} - \frac{r}{qr}\right)} \times x^{\left(\frac{r}{rp} - \frac{p}{rp}\right)}$

$= x^{\left(\frac{1}{q} - \frac{1}{p}\right)} \times x^{\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{q}\right)} \times x^{\left(\frac{1}{p} - \frac{1}{r}\right)}$

ভিত্তি একই হওয়ায় পাওয়ারগুলো যোগ হবে,

$= x^{\frac{1}{q} - \frac{1}{p} + \frac{1}{r} - \frac{1}{q} + \frac{1}{p} - \frac{1}{r}}$

$= x^0$

$\therefore B = 1$

এখন,

বামপক্ষ,

$= B + \sqrt [4] {81}$

$= 1 + \left( 3^4 \right)^{\frac{1}{4}}$ [মান বসিয়ে]

$= 1 + 3^{4 \times \frac{1}{4}}$

$= 1 + 3^1$

$= 1 + 3$

$= 4$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $B + \sqrt [4] {81} = 4$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$C = \dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^m \right)^{m-1}} \div \dfrac{ 25^{m+1} }{ \left( 5^{m-1} \right)^{m+1}}$

প্রথমে $C$ এর মান নির্ণয় করি,

$C = \dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}} \div \dfrac{ \left(5^2\right)^{m+1} }{ 5^{m^2-1}}$

$= 5^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{ 5^{2m+2} }{ 5^{m^2-1}}$

$= 5^{m+1-m^2+m} \div 5^{(2m+2) - (m^2-1)}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{2m+2-m^2+1}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{-m^2+2m+3}$

$= 5^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 5^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 5^{-2}$

$= \dfrac{1}{5^2}$

$\therefore C = \dfrac{1}{25}$

(খ) হতে প্রাপ্ত, $B = 1$

এখন,

বামপক্ষ,

$= B \div C$

$= 1 \div \dfrac{1}{25}$

$= 1 \times \dfrac{25}{1}$

$= 25$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $B \div C = 25$ Shown