সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 4^{2p+1}$

প্রশ্নমতে,

$A = 128$

বা, $4^{2p+1} = 128$

বা, $\left(2^2\right)^{2p+1} = 2^7$

বা, $2^{4p+2} = 2^7$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $2$ বাদ দিয়ে পাই,

$4p + 2 = 7$

বা, $4p = 7 - 2$

বা, $4p = 5$

$\therefore p = \frac{5}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $p = \frac{5}{4}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^m \right)^{m-1}}$ এবং $C = \dfrac{ 25^{m+1} }{ \left( 5^{m-1} \right)^{m+1}}$

বামপক্ষ,

$= B \div C$

$= \dfrac{5^{m+1}}{\left( 5^m \right)^{m-1}} \div \dfrac{ 25^{m+1} }{ \left( 5^{m-1} \right)^{m+1}}$

$= \dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}} \div \dfrac{ \left(5^2\right)^{m+1} }{ 5^{m^2-1}}$

$= 5^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{ 5^{2m+2} }{ 5^{m^2-1}}$

$= 5^{m+1-m^2+m} \div 5^{(2m+2) - (m^2-1)}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{2m+2-m^2+1}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{-m^2+2m+3}$

$= 5^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 5^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 5^{-2}$

$= \dfrac{1}{5^2}$

$= \dfrac{1}{25}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $B \div C = \dfrac{1}{25}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$D = 3^x + 3^{1-x}$

প্রশ্নমতে,

$D = 4$

বা, $3^x + 3^{1-x} = 4$

বা, $3^x + \dfrac{3^1}{3^x} = 4$

ধরি, $3^x = a$

তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$a + \dfrac{3}{a} = 4$

বা, $\dfrac{a^2 + 3}{a} = 4$

বা, $a^2 + 3 = 4a$

বা, $a^2 - 4a + 3 = 0$

বা, $a^2 - 3a - a + 3 = 0$

বা, $a(a - 3) - 1(a - 3) = 0$

বা, $(a - 3)(a - 1) = 0$

হয়, $a - 3 = 0$

বা, $a = 3$

বা, $3^x = 3^1$ [$a$ এর মান বসিয়ে]

$\therefore x = 1$

অথবা, $a - 1 = 0$

বা, $a = 1$

বা, $3^x = 3^0$ [যেহেতু $3^0 = 1$]

$\therefore x = 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 1$ অথবা $x = 0$। Answer