সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ৪

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{5^{x+2} + 35 \cdot 5^{x-1}}{4 \cdot 5^x}$

$= \dfrac{5^x \cdot 5^2 + 35 \cdot \dfrac{5^x}{5}}{4 \cdot 5^x}$

$= \dfrac{5^x \cdot 25 + 7 \cdot 5^x}{4 \cdot 5^x}$

$= \dfrac{5^x (25 + 7)}{4 \cdot 5^x}$

$= \dfrac{32}{4}$ [উভয়পক্ষ থেকে $5^x$ বাদ দিয়ে]

$= 8$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $8$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$a = \dfrac{3 \cdot 2^x - 4 \cdot 2^{x-2}}{2^x - 2^{x-1}}$

$a$ এর মান নির্ণয় করি,

$a = \dfrac{3 \cdot 2^x - 2^2 \cdot 2^{x-2}}{2^x - \dfrac{2^x}{2}}$

$= \dfrac{3 \cdot 2^x - 2^{2+x-2}}{2^x \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right)}$

$= \dfrac{3 \cdot 2^x - 2^x}{2^x \cdot \dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{2^x (3 - 1)}{2^x \cdot \dfrac{1}{2}}$

$= \dfrac{2}{\frac{1}{2}}$

$= 2 \times \dfrac{2}{1}$

$= 4$

আবার দেওয়া আছে,

$b = \dfrac{2^{x+4} - 4 \cdot 2^{x+1}}{2^{x+2} \div 2}$

$b$ এর মান নির্ণয় করি,

$b = \dfrac{2^{x+4} - 2^2 \cdot 2^{x+1}}{2^{x+2-1}}$

$= \dfrac{2^{x+4} - 2^{2+x+1}}{2^{x+1}}$

$= \dfrac{2^{x+4} - 2^{x+3}}{2^{x+1}}$

$= \dfrac{2^{x+3+1} - 2^{x+3}}{2^{x+1}}$

$= \dfrac{2^{x+3} (2^1 - 1)}{2^{x+1}}$

$= \dfrac{2^{x+3} \cdot 1}{2^{x+1}}$

$= 2^{x+3-(x+1)}$

$= 2^{x+3-x-1}$

$= 2^2$

$= 4$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= ab$

$= 4 \times 4$

$= 16$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $16$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$c = \dfrac{9^{x+1}}{3^{(x+1)(x-1)}}$

$c$ এর মান নির্ণয় করি,

$c = \dfrac{\left(3^2\right)^{x+1}}{3^{x^2-1}}$

$= \dfrac{3^{2x+2}}{3^{x^2-1}}$

$= 3^{2x+2-(x^2-1)}$

$= 3^{2x+2-x^2+1}$

$= 3^{-x^2+2x+3}$

(খ) হতে পাই, $a = 4$ এবং $b = 4$

প্রশ্নমতে,

$a = bc$

বা, $4 = 4 \cdot 3^{-x^2+2x+3}$

বা, $1 = 3^{-x^2+2x+3}$ [উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $3^0 = 3^{-x^2+2x+3}$ [যেহেতু $3^0 = 1$]

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $3$ বাদ দিয়ে পাই,

$0 = -x^2+2x+3$

বা, $x^2 - 2x - 3 = 0$

বা, $x^2 - 3x + x - 3 = 0$

বা, $x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$

বা, $(x - 3)(x + 1) = 0$

হয়,

$x - 3 = 0$

$\therefore x = 3$

অথবা,

$x + 1 = 0$

$\therefore x = -1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 3$ অথবা $x = -1$। Answer