সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ৫

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Y = 5^{2r+1}$

প্রশ্নমতে,

$Y = 3125$

বা, $5^{2r+1} = 5^5$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $5$ বাদ দিয়ে পাই,

$2r + 1 = 5$

বা, $2r = 5 - 1$

বা, $2r = 4$

বা, $r = \dfrac{4}{2}$

$\therefore r = 2$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $r = 2$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$W = \dfrac{6^{m+1}}{\left( 6^m \right)^{m-1}} \div \dfrac{36^{m+1}}{\left( 6^{m-1} \right)^{m+1}}$

প্রথমে $W$ এর মান নির্ণয় করি,

$W = \dfrac{6^{m+1}}{6^{m^2-m}} \div \dfrac{ \left(6^2\right)^{m+1} }{ 6^{m^2-1}}$

$= 6^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{ 6^{2m+2} }{ 6^{m^2-1}}$

$= 6^{m+1-m^2+m} \div 6^{(2m+2) - (m^2-1)}$

$= 6^{-m^2+2m+1} \div 6^{2m+2-m^2+1}$

$= 6^{-m^2+2m+1} \div 6^{-m^2+2m+3}$

$= 6^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 6^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 6^{-2}$

$= \dfrac{1}{6^2}$

$= \dfrac{1}{36}$

এখন,

বামপক্ষ,

$= W^{-1}$

$= \left( \dfrac{1}{36} \right)^{-1}$

$= 36$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $W^{-1} = 36$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$R = 7^x + 7^{1-x}$

প্রশ্নমতে,

$R = 8$

বা, $7^x + 7^{1-x} = 8$

বা, $7^x + \dfrac{7^1}{7^x} = 8$

ধরি, $7^x = a$

তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়,

$a + \dfrac{7}{a} = 8$

বা, $\dfrac{a^2 + 7}{a} = 8$

বা, $a^2 + 7 = 8a$

বা, $a^2 - 8a + 7 = 0$

বা, $a^2 - 7a - a + 7 = 0$

বা, $a(a - 7) - 1(a - 7) = 0$

বা, $(a - 7)(a - 1) = 0$

হয়, $a - 7 = 0$

বা, $a = 7$

বা, $7^x = 7^1$ [$a$ এর মান বসিয়ে]

$\therefore x = 1$

অথবা, $a - 1 = 0$

বা, $a = 1$

বা, $7^x = 7^0$ [যেহেতু $7^0 = 1$]

$\therefore x = 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 1$ অথবা $x = 0$। Answer