ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১৮

১৮ $A=1 + \sin \theta$ এবং $B=1 - \sin \theta$

• (ক) $\sec (90^\circ - \theta) = \frac{5}{3}$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{\frac{A}{B}}$
• (গ) $B- \cos \theta = 0$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

💡 এই অধ্যায়ের সব সৃজনশীলের সূচি ➔

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\sec (90^\circ - \theta) = \frac{5}{3}$

আমরা জানি, পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হতে $\sec (90^\circ - \theta) = {\rm cosec}\; \theta$

$\therefore {\rm cosec}\; \theta = \frac{5}{3}$

আবার আমরা জানি, $\sin \theta = \frac{1}{{\rm cosec}\; \theta}$

$\therefore \sin \theta = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

বা, $\sin \theta = \frac{3}{5}$

সুতরাং, $\sin \theta$ এর মান $\frac{3}{5}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = 1 + \sin \theta$

$B = 1 - \sin \theta$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \sqrt{\frac{A}{B}}$

$A$ এবং $B$ এর মান বসিয়ে পাই,

$= \sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$

লব ও হরকে হরের বিপরীত চিহ্নযুক্ত রাশি $(1 + \sin \theta)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}}$

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta}}$

আমরা জানি, $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

$= \sqrt{\frac{(1 + \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}}$

বর্গমূল তুলে দিলে পাই,

$= \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}$

ভগ্নাংশটিকে আলাদা করে লিখলে,

$= \frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$= \sec \theta + \tan \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= \sec \theta + \tan \theta$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{\frac{A}{B}}$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B - \cos \theta = 0$

যেহেতু, $B = 1 - \sin \theta$

বা, $1 - \sin \theta - \cos \theta = 0$

পক্ষান্তর করে পাই,

বা, $1 - \sin \theta = \cos \theta$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(1 - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta$

বা, $1 - 2\sin \theta + \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

আমরা জানি, $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

বা, $1 - 2\sin \theta + \sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

সব পদকে বামপাশে এনে যোগ-বিয়োগ করে পাই,

বা, $1 - 2\sin \theta + \sin^2 \theta - 1 + \sin^2 \theta = 0$

বা, $2\sin^2 \theta - 2\sin \theta = 0$

বামপক্ষ থেকে $2\sin \theta$ কমন নিয়ে পাই,

বা, $2\sin \theta (\sin \theta - 1) = 0$

হয়,

$2\sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = 0$

বা, $\sin \theta = \sin 0^\circ$

$\therefore \theta = 0^\circ$

অথবা,

$\sin \theta - 1 = 0$

বা, $\sin \theta = 1$

বা, $\sin \theta = \sin 90^\circ$

$\therefore \theta = 90^\circ$

যেহেতু শর্ত দেওয়া আছে $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$, তাই $\theta$ এর উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

[শুদ্ধি পরীক্ষা: $\theta = 0^\circ$ হলে, $B - \cos 0^\circ = (1-\sin 0^\circ) - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$ (সঠিক)। আবার $\theta = 90^\circ$ হলে, $B - \cos 90^\circ = (1-\sin 90^\circ) - 0 = 1 - 1 - 0 = 0$ (সঠিক)।]

সুতরাং, নির্ণেয় কোণ $\theta = 0^\circ$ অথবা $\theta = 90^\circ$। Answer

Previous See All Next