৯ম শ্রেণি : উচ্চতর গণিত : ৮ম সপ্তাহ
এমন দুইটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী $P(x)$ ও $Q(x)$ নির্ণয় কর যাদের একটি সমাধান উৎপাদক $(x-2)$ ধ্রুবপদ $24$ এবং অন্য উৎপাদকগুলো একমাত্রিক। বহুপদী দুইটির একটিকে হর ও অপরটিকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
নমুনা সমাধান
এমন দুইটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী হলো,
$P(x)=3x^3-12x$$Q(x)= 3x^3-18x^2+36x-24$
যাদের একটি সাধারণ উৎপাদক $(x-2)$ এবং ধ্রবপদ $24$ এবং অন্য উৎপাদকগুলো একমাত্রিক।
বহুপদী দুটির একটিকে হর অন্যটিকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশটি কে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হলো:
$\frac{P(x)}{Q(x)}=3x^3-\frac{12x}{3x^3}-18x^2+36x-24$এখানে,
$P(x) =3x^3-12x$
$= 3x(x^2- 4)$
$=3x(x^2-2^2)$
$=3x(x+2)(x-2)$
$Q(x)=3x^3-18x^2+36x -24$
$=3(x^3-6x^2+12x^2-8)$
$=3(x^3-3.x^2.2+3.x.2^2-2^3)$
$=3(x-2)^3$
$=3(x-2)(x-2)(x-2)$
$=\frac{3x(x+2)(x-2)}{3(x-1)(x-2)(x-4)}$
$=\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}$ধরি,
$\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}= \frac A{(x-4)}+\frac B{(x-1)}$ ......(1)
(1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষে $(x-4)(x-1)$ গুণ করে পাই,
$x(x+2)=A(x-1)+ B(x-4)$ ......(2)
$x=1$ হলে,
$1(1+2)=A(1-1) + B(1-4)$
বা, $3=A\times0 + B\times(-3)$
বা, $3=-3B$
বা, $B= \frac{3}{-3}$
বা, $B= -1$
$x=4$ হলে,
$4(4+2)=A(4-1)+B(4-4)$
বা, $4 \times 6=A \times 3 + B \times 0$বা, $24=3A+0$
বা, $3A=24$
বা, $A= \frac{24}{3}$বা, $A=8$
সুতরাং $\frac{x(x+2)}{(x-1)(x-4)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা হলে, ভগ্নাংশটি হয়
$\frac {8}{(x-4)}+\frac {-3}{(x-1)}$
$=\frac {8}{(x-4)}-\frac {3}{(x-1)}$
[Answer]
আরো দেখুন :
৯ম সপ্তাহের নমুনা সমাধান :
৮ম সপ্তাহের নমুনা সমাধান :